Math
Касающиеся окружности
Впишите четвёртый диск между тремя касающимися, пока он не коснётся всех трёх, — самый узкий зазор показан в увеличении; сравните его кривизну с соотношением Декарта, затем найдите второе решение — охватывающую окружность, прямую или внешнюю окружность — и вырастите аполлониеву упаковку.
Что происходит
Три диска попарно касаются. Какая окружность касается всех трёх? Впишите латунное кольцо в середину: двигайте его, тяните за край, доводите колесом; врезка увеличивает худший зазор. Размер решает кривизна k = 1/r: соотношение Декарта связывает четыре кривизны и даёт два ответа. Второй — со знаком: отрицательный у окружности, охватывающей три диска, ноль у прямой, положительный у окружности снаружи. Повторяя построение в каждом новом зазоре, получаем аполлониеву упаковку.
Уравнения модуля
Уравнения k = 1/r; (k₁+k₂+k₃+k₄)² = 2(k₁²+k₂²+k₃²+k₄²) k₄ = k₁+k₂+k₃ ± 2√(k₁k₂+k₂k₃+k₃k₁) + : внутренняя окружность, k₄ > 0 − : k₄ < 0 охватывает три окружности, k₄ = 0 даёт прямую, k₄ > 0 даёт внешнюю окружность упаковка: k' = 2(k₁+k₂+k₃) − k₄, k'z' = 2(k₁z₁+k₂z₂+k₃z₃) − k₄z₄
