Math
Дотичні кола
Впишіть четвертий диск між трьома дотичними, доки він не торкнеться всіх трьох, — найвужчий зазор показано збільшеним; порівняйте його кривину зі співвідношенням Декарта, потім знайдіть другий розв'язок — охопне коло, пряму або зовнішнє коло — і виростіть аполлонієве пакування.
Що відбувається
Три диски попарно дотикаються. Яке коло дотикається всіх трьох? Впишіть латунне кільце в середину: рухайте його, тягніть за край, доводьте коліщатком; вставка збільшує найгірший зазор. Розмір визначає кривина k = 1/r: співвідношення Декарта пов'язує чотири кривини й дає дві відповіді. Друга має знак: від'ємна в кола, що охоплює три диски, нуль у прямої, додатна в кола зовні. Повторюючи побудову в кожному новому зазорі, отримуємо аполлонієве пакування.
Рівняння модуля
Рівняння k = 1/r; (k₁+k₂+k₃+k₄)² = 2(k₁²+k₂²+k₃²+k₄²) k₄ = k₁+k₂+k₃ ± 2√(k₁k₂+k₂k₃+k₃k₁) + : внутрішнє коло, k₄ > 0 − : k₄ < 0 охоплює три, k₄ = 0 пряма, k₄ > 0 коло зовні упаковка: k' = 2(k₁+k₂+k₃) − k₄, k'z' = 2(k₁z₁+k₂z₂+k₃z₃) − k₄z₄
