Math
Okręgi styczne
Dopasuj czwarty krążek między trzy stykające się, aż dotknie wszystkich, z najwęższą szczeliną w powiększeniu; porównaj jego krzywiznę z relacją Kartezjusza, potem znajdź drugie rozwiązanie - okrąg obejmujący, prostą lub okrąg zewnętrzny - i wyhoduj upakowanie Apoloniusza.
Co się dzieje
Trzy krążki stykają się parami. Który okrąg dotyka wszystkich trzech? Dopasuj mosiężny pierścień w środku: przesuwaj go, ciągnij za brzeg, dostrajaj kółkiem; wstawka powiększa najgorszą szczelinę. O rozmiarze decyduje krzywizna k = 1/r: relacja Kartezjusza wiąże cztery krzywizny i daje dwie odpowiedzi. Druga ma znak - ujemna dla okręgu obejmującego trzy krążki, zero dla prostej, dodatnia dla okręgu na zewnątrz. Powtarzanie konstrukcji w każdej nowej szczelinie daje upakowanie Apoloniusza.
Równania modułu
Równania k = 1/r; (k₁+k₂+k₃+k₄)² = 2(k₁²+k₂²+k₃²+k₄²) k₄ = k₁+k₂+k₃ ± 2√(k₁k₂+k₂k₃+k₃k₁) + : okrąg wewnętrzny, k₄ > 0 − : k₄ < 0 otacza te trzy, k₄ = 0 prosta, k₄ > 0 okrąg na zewnątrz upakowanie: k' = 2(k₁+k₂+k₃) − k₄, k'z' = 2(k₁z₁+k₂z₂+k₃z₃) − k₄z₄
