Math
Cercles tangents
Ajustez un quatrième disque entre trois disques tangents jusqu'à ce qu'il les touche tous, l'écart le plus étroit étant agrandi ; comparez sa courbure à la relation de Descartes, puis trouvez la seconde solution - un cercle englobant, une droite ou un cercle extérieur - et faites croître l'empilement d'Apollonius.
Ce qui se passe
Trois disques se touchent deux à deux. Quel cercle touche les trois ? Ajustez un anneau de laiton au milieu : déplacez-le, tirez sur son bord, affinez avec la molette ; l'encart agrandit le pire écart. La courbure k = 1/r décide de la taille : la relation de Descartes relie les quatre courbures et donne deux réponses. La seconde est signée - négative pour un cercle qui englobe les trois, nulle pour une droite, positive pour un cercle à l'extérieur. Répéter la construction dans chaque nouvel interstice fait croître l'empilement d'Apollonius.
Équations du module
Équations k = 1/r; (k₁+k₂+k₃+k₄)² = 2(k₁²+k₂²+k₃²+k₄²) k₄ = k₁+k₂+k₃ ± 2√(k₁k₂+k₂k₃+k₃k₁) + : le cercle intérieur, k₄ > 0 − : k₄ < 0 entoure les trois, k₄ = 0 une droite, k₄ > 0 un cercle extérieur empilement : k' = 2(k₁+k₂+k₃) − k₄, k'z' = 2(k₁z₁+k₂z₂+k₃z₃) − k₄z₄
