Math
Berührende Kreise
Passen Sie eine vierte Scheibe zwischen drei sich berührende ein, bis sie alle drei berührt - die engste Lücke wird vergrößert; vergleichen Sie ihre Krümmung mit der Descartes-Beziehung, finden Sie dann die zweite Lösung - einen umschließenden Kreis, eine Gerade oder einen äußeren Kreis - und lassen Sie die apollonische Packung wachsen.
Was passiert
Drei Scheiben berühren sich paarweise. Welcher Kreis berührt alle drei? Passen Sie einen Messingring in die Mitte ein: verschieben, am Rand ziehen, mit dem Rad feinstellen; der Ausschnitt vergrößert die schlechteste Lücke. Die Größe bestimmt die Krümmung k = 1/r: Die Descartes-Beziehung verbindet die vier Krümmungen und liefert zwei Antworten. Die zweite hat ein Vorzeichen - negativ für einen Kreis, der die drei umschließt, null für eine Gerade, positiv für einen Kreis außen. Die Konstruktion in jeder neuen Lücke wiederholt ergibt die apollonische Packung.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen k = 1/r; (k₁+k₂+k₃+k₄)² = 2(k₁²+k₂²+k₃²+k₄²) k₄ = k₁+k₂+k₃ ± 2√(k₁k₂+k₂k₃+k₃k₁) + : der innere Kreis, k₄ > 0 − : k₄ < 0 umschließt die drei, k₄ = 0 eine Gerade, k₄ > 0 ein Kreis außen Packung: k' = 2(k₁+k₂+k₃) − k₄, k'z' = 2(k₁z₁+k₂z₂+k₃z₃) − k₄z₄
