Physics
Wózek i wahadło: rozhuśtanie i równowaga
Odwrócone wahadło na wózku: pompowanie energii je podnosi, regulator liniowo-kwadratowy trzyma je pionowo, a kopnięcie pokazuje, jak regulator się odbudowuje. Wahadło podwójne to tryb trudny.
Co się dzieje
Wahadło na wózku, który umie tylko pchać w lewo i w prawo - a jednak wahadło staje na sztorc. Robią to dwa prawa, a przełączenie między nimi to cała historia. Póki wahadło wisi, regulator pompuje energię: mierzy, o ile energia wahadła leży poniżej poziomu pionu, i przyspiesza wózek w stronę, która ją zasila, tak jak popycha się huśtawkę w rytm. Celuje umyślnie pół m g l powyżej szczytu: wycelowane dokładnie w szczyt wahadło dotarłoby bez zapasu, a tarcie łożyska trzymałoby je parę stopni niżej na zawsze. Przy końcach szyny pompowanie gaśnie i przejmuje je człon centrujący, więc wózek nie dojeżdża do odbojów. Gdy wahadło wchodzi w stożek narysowany kredą z dość małą energią, prawo się przełącza: drugie prawo to regulator liniowo-kwadratowy, stałe wzmocnienie na czterech liczbach x, θ, x', θ'. Jego wzmocnień nikt nie dobiera ręcznie - wychodzą z równania Riccatiego dla równań samego wahadła zlinearyzowanych u szczytu, rozwiązywanego przy każdym ruchu suwaka. Kopnij wahadło i patrz na siłę pod wózkiem: po małym kopnięciu regulator się odbudowuje, po dużym wahadło spada, pierwsze prawo wraca i cykl się powtarza. Wyłącz regulator - wahadło po prostu spadnie. Wahadło podwójne otwiera się stojąc i trzyma je ten sam regulator z sześcioma wzmocnieniami; rozhuśtanie podwójnego wahadła to optymalizacja trajektorii, a model tego nie udaje.
Równania modułu
Równania (M + m) x'' + m l cos θ · θ'' − m l sin θ · θ'² = F − b x' m l cos θ · x'' + m l² θ'' − m g l sin θ = −c θ'' (kąt θ mierzony od pozycji pionowej) E = m l² θ'²/2 + m g l (cos θ − 1), dE/dt = −m l a θ' cos θ sterowanie wahadłem: a = k (E − E_ref) θ' cos θ, E_ref = 0.5 m g l, F = (M + m) a, |F| ≤ 18 N Przełącz na stabilizację pionową: |θ| < 30° i E < 0.8 m g l → u = −K s, s = (x, θ, x', θ') LQR: AᵀP + PA − P B R^-1 Bᵀ P + Q = 0, K = R^-1 Bᵀ P, Q = diag(1, 10, 1, 1), R = 0.1 liniowo u góry: ∂θ''/∂θ = g (M + m) / (M l), ∂x''/∂θ = −m g / M, ∂θ''/∂F = −1 / (M l)
