Earth
Циклон умеренных широт
Смотрите с орбиты, как над Северной Атлантикой рождается шторм. Холодный воздух на севере и тёплый на юге означают, по закону термического ветра, западный ветер, усиливающийся с высотой, — и это течение со сдвигом неустойчиво. Возмущение в полгектопаскаля растёт экспоненциально, ровно с той скоростью, которую в замкнутом виде даёт двухслойная модель Филлипса, быстрее всего для волн длиной около 3,5 радиуса Россби, примерно 4000 км; за несколько суток циклоны углубляются ниже 985 гПа, антициклоны усиливаются, облако-запятая поднимается там, где тёплый воздух восходит впереди каждого циклона, а позади тянется полоса холодного фронта. Рост останавливается, когда штормы перенесут к полюсу достаточно тепла, чтобы ослабить градиент. Сгладьте температурный градиент — и волна будет только затухать; сравните две длины волны, запущенные одинаково; табло строит скорость роста в зависимости от волнового числа и сводит энергию вихрей с её высвобождением из средней доступной потенциальной энергии.
Что происходит
Два слоя по 5 км под жёсткой крышкой на 45° с. ш. (f0 = 1,03·10^-4 1/с, N = 0,012 1/с, радиус деформации 582 км, радиус Россби для полной толщины 1164 км) заполняют канал длиной 8000 км и шириной 4000 км, периодический с запада на восток, со стенками на юге и севере. Падение температуры на 10 K на 1000 км задаёт, по закону термического ветра, сдвиг 18,3 м/с между слоями над покоящимся нижним слоем. Возмущение потенциального вихря каждого слоя, q = ∇²ψ ± F·(ψ2 − ψ1), переносится заданным ветром и ветром вихрей; нижний слой испытывает экмановское трение со временем затухания 4 суток, температура релаксирует к заданному градиенту за 20 суток, вязкость 10^5 м²/с забирает энстрофию на масштабе сетки. 64 × 32 точки по 125 км, сохраняющий энергию якобиан Аракавы, обращение спектральное по x и трёхдиагональное по y, RK4 с шагом 20 минут. Каждая фурье-мода с синусом от стенки до стенки — точный собственный вектор этих уравнений: её рост — больший корень комплексной задачи на собственные значения 2 × 2 — 0,579 в сутки для волны 4000 км, 0,406 для 8000 км, — а без трения формула Филлипса σ = k·U·√((2F − K²)/(2F + K²)) с наибольшим значением (√2 − 1)·U·√(2F) = 0.80 в сутки при 3,45 радиуса Россби. Энергия вихрей растёт за счёт высвобождения C средней доступной потенциальной энергии, пропорционального потоку тепла к полюсу, и теряется на трение, вязкость и релаксацию; при интегрировании с весами RK4 в балансе остаётся только погрешность усечения интегратора, несколько 10^-8 энергии. Облака стоят там, где диагностированный восходящий поток на средних уровнях превышает 3 мм/с; изобары — давление нижнего слоя ρ·f0·ψ2, прочитанное как приземное давление.
Что попробовать
Запустите волну 4000 км и сравните измеренный рост на табло с замкнутой формулой; дайте ей насытиться до циклонов 980 гПа и смотрите, как перенос тепла проскакивает равновесие; запустите так же волну 8000 км; задайте нулевой градиент; начните с шума и посмотрите, как верх берёт самая быстрая волна.
Модель и её ограничения
Квазигеострофический двухслойный канал на f-плоскости: без β-эффекта, без влаги и скрытого тепла, без фронтов резче сетки 125 км, циклоны и антициклоны зеркальны друг другу; заданный сдвиг однороден поперёк канала, а стенки жёсткие. Облака и давления — диагностика этого идеализированного шторма, а не прогноз.
Уравнения модуля
Уравнения q1 = ∇²ψ1 + F·(ψ2 − ψ1), q2 = ∇²ψ2 + F·(ψ1 − ψ2), F = f0²/(N·H)² ∂q/∂t + J(ψ, q) + U·∂q/∂x ± F·ΔU·∂ψ/∂x = ν·∇²(∇²ψ) − r·∇²ψ2 ± F·(ψ1 − ψ2)/τ_R ΔU = g·H·(−dT/dy)/(f0·T0), σ = k·(ΔU/2)·√((2F − K²)/(2F + K²)), σ_max = (√2 − 1)·(ΔU/2)·√(2F) dE/dt = C − D, C = (F·ΔU/2)·mean(ψ1·∂ψ2/∂x) = (F·ΔU/2)·(g·H/(f0·T0))·mean(v·δT)
