Math
Чудо Морли
Разделите на три каждый угол любого треугольника: трисектрисы, прилежащие к каждой стороне, пересекаются в трёх точках, и эти три точки всегда образуют равносторонний треугольник. Измерено вживую как три равные стороны и три угла по 60°, на кривом треугольнике так же, как на правильном; уведите разрезы от третей ползунком - и теорема тут же перестаёт быть верной; задача - найти треть рукой.
Что происходит
Возьмите любой треугольник - кривой, приплюснутый, какой угодно, - и разрежьте каждый из трёх углов на три равные части. У каждой стороны два таких разреза пересекаются в точке. Морли нашёл в 1899 году, что три эти точки всегда образуют равносторонний треугольник, каким бы ни был внешний, - и результат всех удивил, потому что ничего подобного не верно для биссектрис и ничто в греческом инструментарии к нему не подводит. Здесь три точки строятся ровно так - лучи, повёрнутые на треть каждого угла, и их пересечения, - а внутренний треугольник измеряется, а не рисуется: три его стороны и три угла печатаются до последнего знака и читаются равными и по 60° на любом треугольнике, какой вы сделаете. Ползунок превращает разрезы в любую другую долю углов, и теорема тут же ломается: при 0,3 стороны уже разные, при половине три точки сливаются в одну. Всё чудо живёт в числе одна треть, и задача - найти его ползунком.
Уравнения модуля
Уравнения Морли (1899): в любом треугольнике пары трисектрис углов, прилежащих к каждой стороне, пересекаются в трёх точках, образующих равносторонний треугольник сторона треугольника Морли: 8R · sin(A/3) · sin(B/3) · sin(C/3), R - радиус описанной окружности; 0.418917 на начальном треугольнике измерено здесь: три точки получаются пересечением лучей, повёрнутых на f·A, f·B, f·C внутрь треугольника; выводятся три стороны и три угла; равносторонность с точностью 1e-16 при f = 1/3 и ни при каком другом f почему биссектрисы не годятся: при f = 1/2 все три луча встречаются в одной точке, центре вписанной окружности - треугольник вырождается почему теорема - чудо: изменение f первого порядка даёт изменение формы первого порядка (f = 0.3: стороны различаются на 2e-3, углы отклоняются от 60° на 0.26°), поэтому единственное подходящее значение - ровно треть
