Math
Morleys Wunder
Dreiteilen Sie jeden Winkel eines beliebigen Dreiecks: die Dreiteilungslinien neben jeder Seite treffen sich in drei Punkten, und diese drei Punkte bilden immer ein gleichseitiges Dreieck - live gemessen als drei gleiche Seiten und drei 60°-Winkel, beim schiefen Dreieck wie beim regelmäßigen; drehen Sie die Schnitte mit einem Schieber von den Dritteln weg, und es stimmt sofort nicht mehr; die Aufgabe ist, das Drittel von Hand zu finden.
Was passiert
Nehmen Sie irgendein Dreieck - schief, gedrungen, was immer Sie ziehen - und schneiden Sie jeden der drei Winkel in drei gleiche Teile. Neben jeder Seite treffen sich zwei dieser Schnitte in einem Punkt. Morley fand 1899, dass die drei Punkte immer ein gleichseitiges Dreieck bilden, wie auch immer das äußere aussieht - und das Ergebnis überraschte alle, denn für Winkelhalbierende gilt nichts dergleichen, und nichts im griechischen Werkzeugkasten kommt ihm nahe. Hier werden die drei Punkte genau so gebaut - Strahlen, um ein Drittel jedes Winkels gedreht, geschnitten - und das innere Dreieck wird gemessen, nicht gezeichnet: seine drei Seiten und drei Winkel stehen bis zur letzten Stelle da und lesen sich gleich und 60° bei jedem Dreieck, das Sie machen. Der Schieber macht aus den Schnitten jeden anderen Anteil der Winkel, und der Satz bricht sofort: bei 0,3 sind die Seiten schon verschieden, bei der Hälfte fallen die drei Punkte in einen. Das ganze Wunder lebt in der Zahl ein Drittel, und die Aufgabe ist, sie mit dem Schieber zu finden.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen Morley (1899): in jedem Dreieck treffen sich die Paare von Winkeltrisektoren, die an je eine Seite grenzen, in drei Punkten, die ein gleichseitiges Dreieck bilden Seite des Morley-Dreiecks: 8R · sin(A/3) · sin(B/3) · sin(C/3), R der Umkreisradius - 0.418917 beim Anfangsdreieck hier gemessen: die drei Punkte aus Strahlen, die um f·A, f·B, f·C ins Dreieck hinein gedreht und geschnitten werden; drei Seiten und drei Winkel ausgegeben; gleichseitig bis auf 1e-16 bei f = 1/3 und bei keinem anderen f warum Winkelhalbierende nicht genügen: bei f = 1/2 treffen sich alle drei Strahlen in einem Punkt, dem Inkreismittelpunkt - das Dreieck kollabiert warum der Satz ein Wunder ist: eine Änderung erster Ordnung in f ergibt eine Änderung erster Ordnung in der Form (f = 0.3: Seiten weichen um 2e-3, Winkel weichen um 0.26° von 60° ab), also ist das exakte Drittel der einzige Wert, der funktioniert
