Math
Il miracolo di Morley
Triseca ogni angolo di un triangolo qualsiasi: le trisettrici accanto a ogni lato si incontrano in tre punti, e quei tre punti formano sempre un triangolo equilatero - misurato dal vivo come tre lati uguali e tre angoli di 60°, su un triangolo storto come su uno regolare; sposta i tagli dai terzi con un cursore e smette subito di essere vero; il compito è trovare il terzo a mano.
Cosa succede
Prendi un triangolo qualsiasi - storto, schiacciato, quello che ottieni trascinandolo - e taglia ciascuno dei tre angoli in tre parti uguali. Accanto a ogni lato, due di quei tagli si incontrano in un punto. Morley scoprì nel 1899 che i tre punti formano sempre un triangolo equilatero, comunque sia fatto quello esterno, e il risultato sorprese tutti perché nulla di simile vale per le bisettrici e nulla nella cassetta degli attrezzi greca gli si avvicina. Qui i tre punti sono costruiti esattamente così - raggi ruotati di un terzo di ogni angolo, intersecati - e il triangolo interno è misurato, non disegnato: i suoi tre lati e tre angoli sono stampati fino all'ultima cifra, e si leggono uguali e di 60° su qualunque triangolo tu faccia. Il cursore trasforma i tagli in qualsiasi altra frazione degli angoli, e il teorema si ferma subito: a 0,3 i lati già differiscono, a metà i tre punti collassano in uno. Tutto il miracolo vive nel numero un terzo, e il compito è trovarlo col cursore.
Equazioni del modulo
Equazioni Morley (1899): in un triangolo qualsiasi le coppie di trisettrici degli angoli adiacenti a ciascun lato si incontrano in tre punti che formano un triangolo equilatero lato del triangolo di Morley: 8R · sin(A/3) · sin(B/3) · sin(C/3), R il raggio circoscritto - 0.418917 sul triangolo iniziale misurato qui: i tre punti ottenuti da semirette ruotate di f·A, f·B, f·C verso l'interno del triangolo, intersecate; tre lati e tre angoli stampati; equilatero entro 1e-16 per f = 1/3 e per nessun altro f perché le bisettrici non bastano: per f = 1/2 le tre semirette si incontrano in un solo punto, l'incentro - il triangolo collassa perché il teorema è un miracolo: una variazione del primo ordine in f dà una variazione del primo ordine nella forma (f = 0.3: i lati differiscono di 2e-3, gli angoli si discostano da 60° di 0.26°), perciò il terzo esatto è l'unico valore che funziona
