Math
Le miracle de Morley
Trisectez chaque angle d'un triangle quelconque : les trisectrices voisines de chaque côté se coupent en trois points, et ces trois points forment toujours un triangle équilatéral - mesuré en direct comme trois côtés égaux et trois angles de 60°, sur un triangle de travers comme sur un régulier ; éloignez les coupes des tiers avec un curseur et ce n'est plus vrai aussitôt ; la tâche est de trouver le tiers à la main.
Ce qui se passe
Prenez un triangle quelconque - de travers, écrasé, ce que vous obtenez en le déplaçant - et coupez chacun de ses trois angles en trois parts égales. Près de chaque côté, deux de ces coupes se croisent en un point. Morley a découvert en 1899 que les trois points forment toujours un triangle équilatéral, quel que soit le triangle extérieur, et le résultat a surpris tout le monde parce que rien de tel n'est vrai pour les bissectrices et que rien dans la boîte à outils grecque n'en approche. Ici les trois points sont construits exactement ainsi - des rayons tournés d'un tiers de chaque angle, intersectés - et le triangle intérieur est mesuré, non dessiné : ses trois côtés et ses trois angles sont affichés jusqu'à la dernière décimale, et ils se lisent égaux et à 60° sur tout triangle que vous faites. Le curseur transforme les coupes en n'importe quelle autre fraction des angles, et le théorème cesse aussitôt : à 0,3 les côtés diffèrent déjà, à la moitié les trois points se confondent en un seul. Tout le miracle tient dans le nombre un tiers, et la tâche est de le trouver au curseur.
Équations du module
Équations Morley (1899) : dans tout triangle, les couples de trisectrices d'angles adjacentes à chaque côté se coupent en trois points qui forment un triangle équilatéral côté du triangle de Morley : 8R · sin(A/3) · sin(B/3) · sin(C/3), R le rayon du cercle circonscrit - 0.418917 sur le triangle initial mesuré ici : les trois points obtenus en intersectant les rayons tournés de f·A, f·B, f·C vers l'intérieur du triangle ; trois côtés et trois angles affichés ; équilatéral à 1e-16 près pour f = 1/3 et pour aucun autre f pourquoi les bissectrices ne conviennent pas : pour f = 1/2 les trois rayons se rencontrent en un seul point, le centre du cercle inscrit - le triangle s'effondre pourquoi le théorème est un miracle : une variation du premier ordre de f entraîne une variation du premier ordre de la forme (f = 0.3: les côtés diffèrent de 2e-3, les angles s'écartent de 60° de 0.26°), de sorte que le tiers exact est la seule valeur qui convienne
