Math
Cud Morleya
Podziel na trzy każdy kąt dowolnego trójkąta: trójsieczne przy każdym boku przecinają się w trzech punktach, a te trzy punkty zawsze tworzą trójkąt równoboczny - mierzone na żywo jako trzy równe boki i trzy kąty po 60°, na krzywym trójkącie tak samo jak na foremnym; odsuń cięcia od trzecich suwakiem, a natychmiast przestaje to być prawdą; zadaniem jest znaleźć jedną trzecią ręcznie.
Co się dzieje
Weź dowolny trójkąt - krzywy, przysadzisty, jaki wyjdzie przy przeciąganiu - i przetnij każdy z trzech kątów na trzy równe części. Przy każdym boku dwa takie cięcia przecinają się w punkcie. Morley odkrył w 1899 roku, że te trzy punkty zawsze tworzą trójkąt równoboczny, jakikolwiek byłby zewnętrzny, a wynik zaskoczył wszystkich, bo nic podobnego nie zachodzi dla dwusiecznych i nic z greckiego warsztatu się do tego nie zbliża. Tu trzy punkty budowane są dokładnie tak - półproste obrócone o jedną trzecią każdego kąta, przecięte - a wewnętrzny trójkąt jest mierzony, nie rysowany: jego trzy boki i trzy kąty wypisane są do ostatniej cyfry i wychodzą równe i po 60° na każdym trójkącie, jaki zrobisz. Suwak zamienia cięcia na dowolny inny ułamek kątów i twierdzenie natychmiast się psuje: przy 0,3 boki już się różnią, przy połowie trzy punkty zlewają się w jeden. Cały cud mieszka w liczbie jedna trzecia, a zadaniem jest znaleźć ją suwakiem.
Równania modułu
Równania twierdzenie Morleya (1899): w dowolnym trójkącie pary trisektrys kątów sąsiadujące z każdym bokiem przecinają się w trzech punktach tworzących trójkąt równoboczny bok trójkąta Morleya: 8R · sin(A/3) · sin(B/3) · sin(C/3), R to promień okręgu opisanego - 0.418917 dla trójkąta początkowego zmierzone tutaj: trzy punkty z półprostych obróconych o f·A, f·B, f·C do wnętrza trójkąta, przecięte; wypisane trzy boki i trzy kąty; równoboczny z dokładnością 1e-16 przy f = 1/3 i przy żadnym innym f dlaczego dwusieczne nie wystarczą: przy f = 1/2 wszystkie trzy półproste spotykają się w jednym punkcie, środku okręgu wpisanego - trójkąt się zapada dlaczego to twierdzenie jest cudem: zmiana f pierwszego rzędu daje zmianę kształtu pierwszego rzędu (f = 0.3: boki różnią się o 2e-3, kąty odbiegają od 60° o 0.26°), więc dokładna jedna trzecia jest jedyną wartością, która działa
