Math
Случайные блуждания
Рой уходит из дома по решётке: облако растёт как √n, концы ложатся в гауссиану, а в трёх измерениях две трети не возвращаются никогда.
Что происходит
Тысячи ходоков стартуют из начала координат и шагают по решётке, каждое направление равновероятно. Три вещи, которые математика знает о том, куда они доходят, и каждая здесь проверена точно: облако растёт как √n - стеклянная сфера ровно такого радиуса растёт вместе с ним, а E|x|² = n на панели измерено по рою; концы ложатся в гауссиану - центральная предельная теорема, нарисованная поверх живой гистограммы; и Пойа - ходок, вернувшийся через начало координат, становится золотым, и в одном и двух измерениях почти все рано или поздно возвращаются, а в трёх - только 34 %. Точная доля вернувшихся к шагу n - динамическое программирование, поглощающее массу в нуле, - рисуется рядом с измеренной и с пределом. Восемь ходоков несут след, чтобы блуждание было видно как путь, а не только как облако.
Уравнения модуля
Уравнения E|x_n|² = n (единичные шаги по решётке, любая размерность: облако растёт как √n) x_n / √(n/d) → N(0, 1) (центральная предельная теорема, для каждой координаты) P(возврат в начало когда-нибудь) = 1 в одном и двух измерениях, 0.340537 в трёх (Пойа) P(возврат к шагу n): масса, поглощённая в начале координат, точно - динамическим программированием
