Math
Zufallsbewegungen
Ein Schwarm verlässt sein Zuhause auf dem Gitter: die Wolke wächst wie √n, die Endpunkte werden gaußsch, und in drei Dimensionen kehren zwei Drittel nie zurück.
Was passiert
Tausende Wanderer starten im Ursprung und schreiten auf dem Gitter, jede Richtung gleich wahrscheinlich. Drei Dinge weiß die Mathematik darüber, wohin sie kommen, und jedes ist hier exakt geprüft: die Wolke wächst wie √n – eine Glaskugel genau dieses Radius wächst mit, und E|x|² = n auf dem Panel ist am Schwarm gemessen; die Endpunkte werden gaußsch, der zentrale Grenzwertsatz, über das laufende Histogramm gezeichnet; und Pólya – ein Wanderer, der durch den Ursprung zurückkommt, wird golden, und in einer und zwei Dimensionen tun das fast alle irgendwann, in drei nur 34 %. Der exakte Anteil zu Hause bis Schritt n kommt aus einem dynamischen Programm, das Masse im Ursprung absorbiert, aufgetragen gegen den gemessenen Anteil und den Grenzwert. Acht Wanderer tragen eine Spur, damit eine Bewegung als Weg zu sehen ist, nicht nur als Wolke.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen E|x_n|² = n (Einheitsschritte auf dem Gitter, in beliebiger Dimension: die Wolke wächst wie √n) x_n / √(n/d) → N(0, 1) (zentraler Grenzwertsatz, jede Koordinate) P(kehrt je zurück) = 1 in einer und zwei Dimensionen, 0.340537 in drei (Pólya) P(Rückkehr bis Schritt n): am Ursprung absorbierte Masse, exakt durch dynamische Programmierung berechnet
