Math
Випадкові блукання
Рій іде з дому ґраткою: хмара росте як √n, кінці лягають у гауссіану, а у трьох вимірах дві третини не повертаються ніколи.
Що відбувається
Тисячі ходоків стартують з початку координат і крокують ґраткою, кожен напрямок рівноймовірний. Три речі, які математика знає про те, куди вони доходять, і кожна тут перевірена точно: хмара росте як √n - скляна сфера рівно такого радіуса росте разом із нею, а E|x|² = n на панелі виміряно за роєм; кінці лягають у гауссіану - центральна гранична теорема, намальована поверх живої гістограми; і Пойа - ходок, що повернувся через початок координат, стає золотим, і в одному й двох вимірах майже всі рано чи пізно повертаються, а у трьох - лише 34 %. Точна частка вдома до кроку n - динамічне програмування, що поглинає масу в нулі, - малюється поруч із виміряною і з межею. Вісім ходоків несуть слід, щоб блукання було видно як шлях, а не лише як хмару.
Рівняння модуля
Рівняння E|x_n|² = n (одиничні кроки на ґратці в будь-якому вимірі: хмара росте як √n) x_n / √(n/d) → N(0, 1) (центральна гранична теорема, кожна координата) P(колись повернеться додому) = 1 в одному й двох вимірах, 0.340537 у трьох (Пойя) P(повернення не пізніше кроку n): маса, поглинена початком координат, точно обчислена динамічним програмуванням
