Math
Marches aléatoires
Un essaim quitte la maison sur le réseau : le nuage grandit comme √n, les extrémités deviennent gaussiennes, et en trois dimensions les deux tiers ne reviennent jamais.
Ce qui se passe
Des milliers de marcheurs partent de l'origine et avancent sur le réseau, chaque direction également probable. Trois choses que les mathématiques savent sur là où ils arrivent, chacune vérifiée ici exactement : le nuage grandit comme √n – une sphère de verre d'exactement ce rayon grandit avec lui, et E|x|² = n sur le panneau est mesuré sur l'essaim ; les extrémités deviennent gaussiennes, le théorème central limite, tracé sur l'histogramme en direct ; et Pólya – un marcheur qui repasse par l'origine devient doré, et en une et deux dimensions presque tous finissent par le faire, tandis qu'en trois seuls 34 % le feront jamais. La part exacte rentrée à l'étape n vient d'un programme dynamique qui absorbe la masse à l'origine, tracée contre la part mesurée et la limite. Huit marcheurs portent une trace pour qu'une marche soit vue comme un chemin et non seulement comme un nuage.
Équations du module
Équations E|x_n|² = n (pas unitaires sur le réseau, en toute dimension : le nuage s'étale comme √n) x_n / √(n/d) → N(0, 1) (théorème central limite, pour chaque coordonnée) P(retour un jour) = 1 en dimension un et deux, 0.340537 en dimension trois (Pólya) P(retour au plus tard au pas n) : masse absorbée à l'origine, calculée exactement par programmation dynamique
