Engineering
Змеевидный поисковый робот
В сумерках перед обрушившимся зданием спасательная команда испытывает своего змеевидного робота на огороженном лентой поле из разровненной пыли: восемь оранжевых звеньев на пассивных колёсах, каждый шарнир движется по серпеноидной походке alpha sin(omega t + i beta) + gamma. Вперёд робота толкает только грунт — колёса позволяют звену скользить вдоль себя в десять раз легче, чем поперёк, — и его поступательное движение и поворот получаются из баланса сил и моментов всей цепи. Смотрите, как он ползёт со средней скоростью, которую предсказывает безмассовая цепь; сделайте трение одинаковым вдоль и поперёк — и он будет извиваться на месте; задайте малую амплитуду и сравните с замкнутой формулой второго порядка; сместите шарниры и проследите, как он идёт по кругу, близкому к идеальной траектории. Каждый джоуль, вложенный моторами шарниров, вновь появляется как тепло в пыли.
Что происходит
Восемь жёстких звеньев по 0,2 м и 0,6 кг (момент инерции m·l²/12), соединённых моторизованными шарнирами, углы которых следуют серпеноидной походке φ_j = α·sin(ω·t + j·β) + γ от хвоста к голове: амплитуда 30°, фазовый сдвиг 45° на шарнир, 0,5 Гц; поворотное смещение γ следует своей уставке с критическим демпфированием за 0,5 с. Форма задана, тело — нет: центр масс и средний курс следуют из суммарной силы и момента относительно центра масс, интегрируемых через импульс и момент импульса L = I(t)·dθ/dt + h(t). Каждое звено чувствует грунт в своём центре: вязко, 1,5 Н·с/м вдоль звена и 15 Н·с/м поперёк (пассивные колёса), его вращению противодействует c_n·l²/12; или по Кулону на эллипсе трения с μ_t = 0,06 и μ_n = 0,6, сглаженном ниже 2 см/с. Ползунок анизотропии задаёт оба отношения. RK4 с шагом 2 мс; рекурсивный проход Ньютона–Эйлера от хвоста даёт силу в каждом шарнире и момент каждого мотора, замыкаясь на голове с точностью до округления, а мощность моторов Στ·dφ/dt и мощность трения интегрируются с теми же весами, так что работа моторов = тепло трения + изменение кинетической энергии с точностью 10^-8 Дж. Безмассовая цепь — нулевые суммарные сила и момент в каждый момент времени, решение системы 3×3 — численно даёт среднюю скорость; её разложение второго порядка с отдачей по рысканию первого порядка даёт замкнутую формулу для малых амплитуд, точную при α → 0. Радиус идеальной траектории тела, скользящего вдоль собственной средней дуги, равен (l/γ)·J0(α/(2·sin(β/2))). Прогон останавливается, когда голова с камерой достигает ленты.
Что попробовать
Смотрите, как скорость за цикл походки устанавливается на предсказании безмассовой цепи; поставьте анизотропию 1 — и робот будет извиваться на месте; задайте амплитуду 5° и сравните с замкнутой формулой; поверните шарниры на 6° и сравните круг с идеальной траекторией; попробуйте кулоновский грунт.
Модель и её ограничения
Плоская цепь на ровном грунте с заданными углами шарниров (идеальные моторы без ограничения момента), трение приложено в центрах звеньев, без контакта с препятствиями, без проскальзывания колёс на осях, без сопротивления кабеля. Скорости относятся к этому идеализированному роботу, а не к настоящей спасательной змее в завалах.
Уравнения модуля
Уравнения φ_j = α·sin(ω·t + j·β) + γ, F_j = −c_t·(v_j·t_j)·t_j − c_n·(v_j·n_j)·n_j M·dV/dt = ΣF_j, dL/dt = Σ(r_j − R)×F_j + ΣT_j, L = I(t)·dθ/dt + h(t) W_motor = ∫Στ_j·dφ_j/dt dt, W_motor + W_friction = ΔE_k V ≈ (c_n − c_t)/(N·c_t)·mean Σψ_j·(dy_j/dt + Ω·x_j) ~ α²·ω, R = (l/γ)·J0(α/(2·sin(β/2)))
