Engineering
Boîte à musique mécanique
Remontez le ressort et regardez le cylindre goupillé pincer les lames d’acier du peigne pendant que le volant à ailettes, un frein à air, tient le tempo ; l’écran à côté de la boîte inscrit chaque note à la hauteur où elle sonne. Réduisez les ailettes du volant pour que la boîte joue plus vite, laissez le ressort se détendre jusqu’à ce que le mécanisme s’arrête sur un accord, amortissez davantage les lames, ou raccourcissez une lame et voyez sa note quitter sa ligne.
Ce qui se passe
Une boîte à musique à cylindre, à la manière suisse. Un ressort moteur en acier d’une raideur de 4,09 mN·m par radian, remonté de quatre tours, entraîne le cylindre en laiton par la grande roue du barillet, à 4:1, et le cylindre entraîne, par un rouage de 2160:1, un volant à ailettes qui fait office de frein à air. La traînée de ses deux ailettes croît comme le carré de leur vitesse, si bien qu’un couple constant donne un tempo constant, ω = √((K·θ/G − T_f)/C). Les goupilles du cylindre soulèvent les 18 lames d’acier du peigne, épaisses de 0,5 mm et accordées sur la gamme de do majeur de G4 à C7 : les lames aiguës par leur longueur, f ∝ t/L², les cinq lames des basses par du plomb à leur extrémité (44,3 mg pour G4). Une goupille rencontre l’extrémité d’une lame 12° au-dessus de l’axe, la soulève de 0,25 mm contre sa raideur 3·E·I/L³ et s’en échappe ; la lame vibre dans ses deux premiers modes de flexion, le second n’étant pas un harmonique, puis s’éteint.
Depuis l’arrêt, le premier accord sonne au bout de 1,198 s, et le régulateur se stabilise à 95,8 battements par minute pour « Ah ! vous dirai-je, maman » ; le soulèvement d’un accord de quatre lames ralentit la musique à 93,4, et l’accord de sept lames qui termine la gamme la freine de 77,4 à 70,1. Avec des ailettes de 5 mm de haut au lieu de 10, la mélodie est jouée 1,42 fois plus vite. À mesure que le ressort se détend, le tempo baisse presque de la même quantité chaque seconde : après 11,8 minutes et 1333 notes, le dernier accord sonne à 16,7 battements par minute, le suivant arrête le rouage, et celui-ci s’immobilise avec les lames soulevées de 0,025 mm et 11,0 mJ, soit 0,85 % du remontage, encore dans le ressort. Sur les 1,292 J du remontage, le volant en a pris 1,153 J et les lames 52,8 mJ. Une lame sans plomb garde dans son premier mode 97,07 % de l’énergie d’un pincement ; C6 en conserve 13,9 % au bout d’une seconde, tandis que son second mode, à 6558 Hz, perd 71 % de son énergie en un dixième de seconde. La lame G6, raccourcie d’un demi-millimètre, sonne 109 cents trop haut, et ses notes quittent leur ligne à l’écran.
Modèle : le rouage est un corps unique ramené au cylindre, dont presque toute l’inertie est celle du volant, soumis à la traînée quadratique du volant et à un frottement de Coulomb qui retient un rouage à l’arrêt ; le ressort est linéaire. Une goupille est un point qui soulève sa lame de façon quasi statique, la période de la lame valant un millième de la durée du soulèvement ; un plomb est une masse ponctuelle à l’extrémité ; chaque lame vibre dans deux modes calculés exactement, et ce que prennent les modes supérieurs au lâcher est compté comme le clic ; une goupille qui rencontre une lame encore vibrante l’arrête. Aucun son n’est rayonné : l’énergie de la musique est la vibration des lames. RK4 au pas de 1/120 s, chaque événement étant localisé à l’intérieur de son pas ; le bilan d’énergie se boucle sur le remontage, le ressort, le volant, le frottement, le glissement des goupilles et les lames.
À essayer
Regardez de près le peigne pendant que les goupilles soulèvent les lames, ainsi que l’écran à côté de la boîte, où chaque note est inscrite à sa hauteur. Réduisez les ailettes et comparez le tempo, partez d’un remontage court pour voir la boîte s’essouffler, ou raccourcissez une lame et trouvez ses notes hors de leur ligne.
Équations du module
Équations f = β²/(2π)·√(E·I/(ρ·A·L⁴)), 1 + cos β·cosh β + μ·β·(cos β·sinh β − sin β·cosh β) = 0 k = 3·E·I/L³, y = R·sin φ − y₀, E_pluck = ½·k·y² I·dω/dt = K·θ/G − T_pins − T_f − C·ω², C = c·N³ ω = √((K·θ/G − T_f)/C), dω/dt = −K/(2·G²·C) E_n(t) = E_n(0)·e^(−η·ω_n·t)
