Engineering
Механическая музыкальная шкатулка
Заведите пружину и посмотрите, как штифтовый валик щиплет стальные язычки гребёнки, а крыльчатка воздушного тормоза держит темп; экран рядом со шкатулкой записывает каждую ноту на той высоте, на которой она звучит. Уменьшите лопасти крыльчатки, чтобы шкатулка играла быстрее, дайте пружине раскрутиться, пока механизм не остановится на аккорде, усильте затухание язычков или укоротите один язычок и посмотрите, как его нота сходит со своей строки.
Что происходит
Цилиндровая музыкальная шкатулка в швейцарском стиле. Стальная заводная пружина жёсткостью 4,09 мН·м на радиан, закрученная на четыре оборота, вращает латунный валик через барабанное колесо с передаточным отношением 4:1, а валик через колёсную передачу 2160:1 вращает крыльчатку воздушного тормоза. Аэродинамическое сопротивление двух её лопастей растёт пропорционально квадрату их скорости, поэтому постоянный момент даёт постоянный темп, ω = √((K·θ/G − T_f)/C). Штифты валика поднимают 18 стальных язычков гребёнки толщиной 0,5 мм, настроенных на звуки гаммы до мажор от G4 до C7: высокие язычки настроены длиной, f ∝ t/L², а пять басовых — свинцовыми грузиками на концах (44,3 мг для G4). Штифт подходит под конец язычка на 12° выше оси валика, поднимает его на 0,25 мм, преодолевая жёсткость 3·E·I/L³, и соскальзывает; язычок звучит на двух первых изгибных модах (вторая из них не является гармоникой основного тона) и затихает.
При пуске из состояния покоя первый аккорд звучит через 1,198 с, и регулятор устанавливает для мелодии «Мерцай, мерцай, звёздочка» темп 95,8 удара в минуту; пока штифты поднимают аккорд из четырёх язычков, музыка замедляется до 93,4, а аккорд из семи язычков, завершающий гамму, снижает темп с 77,4 до 70,1. С лопастями высотой 5 мм вместо 10 мелодия звучит в 1,42 раза быстрее. По мере того как пружина раскручивается, темп каждую секунду падает почти на одну и ту же величину: через 11,8 минуты и 1333 ноты последний аккорд звучит в темпе 16,7 удара в минуту, следующий останавливает передачу, и она замирает с язычками, поднятыми на 0,025 мм, а в пружине ещё остаётся 11,0 мДж — 0,85 % энергии завода. Из 1,292 Дж, вложенных при заводе, крыльчатка забрала 1,153 Дж, а язычки — 52,8 мДж. Язычок без грузика сохраняет в первой моде 97,07 % энергии щипка; у C6 через секунду от неё остаётся 13,9 %, а его вторая мода с частотой 6558 Гц теряет 71 % за десятую долю секунды. Язычок G6, укороченный на полмиллиметра, звучит на 109 центов выше, и его ноты на экране сходят со своей строки.
Модель: колёсная передача — одно тело, приведённое к валику, почти вся инерция которого приходится на крыльчатку; на него действуют квадратичное сопротивление крыльчатки и кулоново трение, удерживающее остановившуюся передачу на месте; пружина линейна. Штифт — точка, поднимающая свой язычок квазистатически: период колебаний язычка составляет тысячную долю длительности подъёма; свинцовый грузик — точечная масса на конце; каждый язычок звучит на двух точно рассчитанных модах, а энергия, которую в момент срыва забирают высшие моды, учитывается как щелчок; штифт, встретивший ещё звучащий язычок, гасит его. Звук не излучается: энергия музыки — это колебания язычков. RK4 с шагом 1/120 с, момент каждого события уточняется внутри шага; энергетический баланс сходится с учётом завода, пружины, крыльчатки, трения, скольжения штифтов и язычков.
Что попробовать
Рассмотрите вблизи гребёнку, пока штифты поднимают язычки, и экран рядом со шкатулкой, где каждая нота записана на своей высоте. Уменьшите лопасти и сравните темп, начните с неполного завода, чтобы увидеть, как шкатулка останавливается, или укоротите язычок и найдите его ноты вне их строки.
Уравнения модуля
Уравнения f = β²/(2π)·√(E·I/(ρ·A·L⁴)), 1 + cos β·cosh β + μ·β·(cos β·sinh β − sin β·cosh β) = 0 k = 3·E·I/L³, y = R·sin φ − y₀, E_pluck = ½·k·y² I·dω/dt = K·θ/G − T_pins − T_f − C·ω², C = c·N³ ω = √((K·θ/G − T_f)/C), dω/dt = −K/(2·G²·C) E_n(t) = E_n(0)·e^(−η·ω_n·t)
