Engineering
Pozytywka mechaniczna
Nakręć sprężynę i patrz, jak walec z kołeczkami szarpie stalowe zęby grzebienia, a wiatraczek działający jak hamulec powietrzny utrzymuje tempo; ekran obok pozytywki zapisuje każdą nutę na tej wysokości, na której brzmi. Zmniejsz łopatki wiatraczka, aby pozytywka grała szybciej, pozwól sprężynie się rozkręcić, aż mechanizm stanie na akordzie, mocniej wytłum zęby albo skróć jeden ząb i zobacz, jak jego nuta schodzi ze swojego rzędu.
Co się dzieje
Pozytywka cylindryczna w stylu szwajcarskim. Stalowa sprężyna napędowa o sztywności 4,09 mN·m na radian, nakręcona o cztery obroty, obraca mosiężny walec przez duże koło bębna w przełożeniu 4:1, a walec przez przekładnię 2160:1 obraca wiatraczek działający jak hamulec powietrzny. Opór powietrza jego dwóch łopatek rośnie z kwadratem ich prędkości, więc stały moment daje stałe tempo, ω = √((K·θ/G − T_f)/C). Kołeczki walca unoszą 18 stalowych zębów grzebienia o grubości 0,5 mm, nastrojonych na gamę C-dur od G4 do C7: wyższe zęby długością, f ∝ t/L², pięć zębów basowych ołowiem na końcach (44,3 mg dla G4). Kołeczek trafia w koniec zęba 12° powyżej osi, unosi go o 0,25 mm wbrew jego sztywności 3·E·I/L³ i ześlizguje się; ząb drga w dwóch pierwszych postaciach drgań giętnych, z których druga nie jest harmoniczną, po czym wygasa.
Od stanu spoczynku pierwszy akord rozbrzmiewa po 1,198 s, a regulator ustala tempo „Migaj, migaj, gwiazdko mała” na 95,8 uderzenia na minutę; uniesienie akordu z czterech zębów spowalnia muzykę do 93,4, a akord z siedmiu zębów kończący gamę ściąga tempo z 77,4 do 70,1. Z łopatkami o wysokości 5 mm zamiast 10 pozytywka gra 1,42 raza szybciej. W miarę rozkręcania się sprężyny tempo spada co sekundę niemal o tyle samo: po 11,8 minuty i 1333 nutach ostatni akord brzmi w tempie 16,7 uderzenia na minutę, następny zatrzymuje przekładnię, która staje z zębami uniesionymi o 0,025 mm, a w sprężynie zostaje jeszcze 11,0 mJ, czyli 0,85 % energii nakręcenia. Z 1,292 J nakręcenia wiatraczek pochłonął 1,153 J, a zęby 52,8 mJ. Ząb bez ołowiu zatrzymuje w pierwszej postaci drgań 97,07 % energii szarpnięcia; C6 po sekundzie zachowuje z niej 13,9 %, a jego druga postać drgań o częstotliwości 6558 Hz traci 71 % w ciągu dziesiątej części sekundy. Ząb G6 skrócony o pół milimetra brzmi o 109 centów za wysoko, a jego nuty na ekranie schodzą ze swojego rzędu.
Model: przekładnia to jedno ciało zredukowane do walca, którego bezwładność niemal w całości pochodzi od wiatraczka, z kwadratowym oporem wiatraczka i tarciem coulombowskim, które utrzymuje nieruchomą przekładnię w spoczynku; sprężyna jest liniowa. Kołeczek to punkt unoszący swój ząb quasi-statycznie, a okres drgań zęba wynosi tysięczną część czasu unoszenia; ołowiany ciężarek to masa punktowa na końcu; każdy ząb drga w dwóch dokładnie obliczonych postaciach drgań, a to, co przy zwolnieniu przejmują wyższe postacie, liczy się jako stuk; kołeczek, który trafia na drgający jeszcze ząb, wycisza go. Dźwięk nie jest wypromieniowywany: energią muzyki są drgania zębów. RK4 z krokiem 1/120 s, z każdym zdarzeniem zlokalizowanym wewnątrz jego kroku; bilans energii zamyka się na nakręcaniu, sprężynie, wiatraczku, tarciu, poślizgu kołeczków i zębach.
Co wypróbować
Obejrzyj z bliska grzebień, gdy kołeczki unoszą zęby, oraz ekran obok pozytywki, na którym każda nuta jest zapisana na swojej wysokości. Zmniejsz łopatki i porównaj tempo, zacznij od krótkiego nakręcenia, aby zobaczyć, jak pozytywka zwalnia i staje, albo przytnij ząb i znajdź jego nuty poza ich rzędem.
Równania modułu
Równania f = β²/(2π)·√(E·I/(ρ·A·L⁴)), 1 + cos β·cosh β + μ·β·(cos β·sinh β − sin β·cosh β) = 0 k = 3·E·I/L³, y = R·sin φ − y₀, E_pluck = ½·k·y² I·dω/dt = K·θ/G − T_pins − T_f − C·ω², C = c·N³ ω = √((K·θ/G − T_f)/C), dω/dt = −K/(2·G²·C) E_n(t) = E_n(0)·e^(−η·ω_n·t)
