Engineering
Mechanische Spieluhr
Ziehen Sie die Feder auf und sehen Sie zu, wie die Stiftwalze die Stahlzähne des Tonkamms anreißt, während der Windfang als Luftbremse das Tempo hält; der Bildschirm neben der Spieluhr schreibt jeden Ton in der Tonhöhe auf, in der er erklingt. Verkleinern Sie die Flügel des Windfangs, damit die Spieluhr schneller spielt, lassen Sie die Feder ablaufen, bis das Werk mitten in einem Akkord stehen bleibt, dämpfen Sie die Zähne stärker, oder kürzen Sie einen Zahn und sehen Sie, wie sein Ton seine Zeile verlässt.
Was passiert
Eine Walzenspieluhr nach Schweizer Art. Eine stählerne Zugfeder mit einer Federrate von 4,09 mN·m pro Radiant, um vier Umdrehungen aufgezogen, dreht über das Federhausrad im Verhältnis 4:1 die Messingwalze, und die Walze dreht über ein Räderwerk mit der Übersetzung 2160:1 einen Windfang, der als Luftbremse wirkt. Der Luftwiderstand seiner zwei Flügel wächst mit dem Quadrat ihrer Geschwindigkeit, sodass ein gleichbleibendes Drehmoment ein gleichbleibendes Tempo ergibt, ω = √((K·θ/G − T_f)/C). Die Stifte der Walze heben die 18 Stahlzähne des Tonkamms an, die 0,5 mm dick und auf die C-Dur-Tonleiter von G4 bis C7 gestimmt sind: die Zähne der höheren Töne durch ihre Länge, f ∝ t/L², die fünf Basszähne durch Bleigewichte an ihren Spitzen (44,3 mg bei G4). Ein Stift trifft 12° über der Walzenachse auf die Spitze eines Zahns, hebt sie gegen die Steifigkeit 3·E·I/L³ um 0,25 mm an und gleitet ab; der Zahn schwingt in seinen ersten beiden Biegemoden – die zweite ist kein harmonischer Oberton – und klingt ab.
Vom Stillstand aus erklingt der erste Akkord nach 1,198 s, und der Regler pendelt sich bei „Funkel, funkel, kleiner Stern“ auf 95,8 Schläge pro Minute ein; das Anheben eines Akkords aus vier Zähnen verlangsamt die Musik auf 93,4, und der Akkord aus sieben Zähnen, der die Tonleiter beschließt, drückt das Tempo von 77,4 auf 70,1. Mit 5 mm hohen Flügeln statt 10 mm läuft die Melodie 1,42-mal so schnell. Während die Feder abläuft, sinkt das Tempo jede Sekunde um fast denselben Betrag: Nach 11,8 Minuten und 1333 Tönen erklingt der letzte Akkord mit 16,7 Schlägen pro Minute, der nächste hält das Räderwerk an, und es verharrt mit um 0,025 mm angehobenen Zähnen, während noch 11,0 mJ – 0,85 % der aufgezogenen Energie – in der Feder stecken. Von den 1,292 J, die beim Aufziehen gespeichert wurden, nahm der Windfang 1,153 J auf, die Zähne 52,8 mJ. Bei einem Zahn ohne Bleigewicht gehen 97,07 % der Anreißenergie in die erste Mode; bei C6 sind davon nach einer Sekunde noch 13,9 % übrig, während seine zweite Mode mit 6558 Hz in einer Zehntelsekunde 71 % ihrer Energie verliert. Der Zahn G6 klingt, um einen halben Millimeter gekürzt, 109 Cent zu hoch, und auf dem Bildschirm liegen seine Töne neben ihrer Zeile.
Modell: Das Räderwerk ist ein einziger, auf die Walze reduzierter Körper, dessen Trägheit fast ganz vom Windfang herrührt; auf ihn wirken der quadratische Luftwiderstand des Windfangs und eine Coulomb-Reibung, die ein stehendes Räderwerk festhält; die Feder ist linear. Ein Stift ist ein Punkt, der seinen Zahn quasistatisch anhebt – die Schwingungsdauer des Zahns beträgt ein Tausendstel der Hubdauer; ein Bleigewicht ist eine Punktmasse an der Spitze; jeder Zahn schwingt in zwei exakt gelösten Moden, und was die höheren Moden beim Loslassen aufnehmen, wird als Knacken verbucht; ein Stift, der auf einen noch schwingenden Zahn trifft, bringt ihn zum Verstummen. Es wird kein Schall abgestrahlt: Die Energie der Musik ist das Schwingen der Zähne. RK4 mit Schritten von 1/120 s, wobei jedes Ereignis innerhalb seines Schritts genau lokalisiert wird; die Energiebilanz geht mit Aufziehen, Feder, Windfang, Reibung, Gleiten der Stifte und Zähnen auf.
Zum Ausprobieren
Betrachten Sie den Kamm aus der Nähe, während die Stifte die Zähne anheben, und den Bildschirm neben der Spieluhr, auf dem jeder Ton in seiner Tonhöhe steht. Verkleinern Sie die Flügel und vergleichen Sie das Tempo, beginnen Sie mit kurzem Aufzug, um die Spieluhr ablaufen zu sehen, oder kürzen Sie einen Zahn und suchen Sie seine Töne neben ihrer Zeile.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen f = β²/(2π)·√(E·I/(ρ·A·L⁴)), 1 + cos β·cosh β + μ·β·(cos β·sinh β − sin β·cosh β) = 0 k = 3·E·I/L³, y = R·sin φ − y₀, E_pluck = ½·k·y² I·dω/dt = K·θ/G − T_pins − T_f − C·ω², C = c·N³ ω = √((K·θ/G − T_f)/C), dω/dt = −K/(2·G²·C) E_n(t) = E_n(0)·e^(−η·ω_n·t)
