Engineering
Механічна музична скринька
Заведіть пружину й подивіться, як штифтовий валик щипає сталеві язички гребінки, а крильчатка повітряного гальма тримає темп; екран поруч зі скринькою записує кожну ноту на тій висоті, на якій вона звучить. Зменште лопаті крильчатки, щоб скринька грала швидше, дайте пружині розкрутитися, доки механізм не зупиниться на акорді, посильте згасання язичків або вкоротіть один язичок і подивіться, як його нота сходить зі свого рядка.
Що відбувається
Циліндрова музична скринька у швейцарському стилі. Сталева заводна пружина жорсткістю 4,09 мН·м на радіан, закручена на чотири оберти, обертає латунний валик через колесо барабана з передавальним відношенням 4:1, а валик через колісну передачу 2160:1 обертає крильчатку повітряного гальма. Аеродинамічний опір двох її лопатей зростає пропорційно квадрату їхньої швидкості, тож сталий момент дає сталий темп, ω = √((K·θ/G − T_f)/C). Штифти валика піднімають 18 сталевих язичків гребінки завтовшки 0,5 мм, налаштованих на звуки гами до мажор від G4 до C7: високі язички налаштовано довжиною, f ∝ t/L², а п’ять басових — свинцевими тягарцями на кінцях (44,3 мг для G4). Штифт підходить під кінець язичка на 12° вище від осі валика, піднімає його на 0,25 мм, долаючи жорсткість 3·E·I/L³, і зісковзує; язичок звучить на двох перших згинальних модах (друга з них не є гармонікою основного тону) і затихає.
Під час пуску зі стану спокою перший акорд звучить через 1,198 с, і регулятор установлює для мелодії «Мерехти, мерехти, зірочко» темп 95,8 удару за хвилину; поки штифти піднімають акорд із чотирьох язичків, музика сповільнюється до 93,4, а акорд із семи язичків, що завершує гаму, знижує темп з 77,4 до 70,1. З лопатями заввишки 5 мм замість 10 мелодія звучить в 1,42 раза швидше. У міру того як пружина розкручується, темп щосекунди спадає майже на ту саму величину: через 11,8 хвилини і 1333 ноти останній акорд звучить у темпі 16,7 удару за хвилину, наступний зупиняє передачу, і вона завмирає з язичками, піднятими на 0,025 мм, а в пружині ще лишається 11,0 мДж — 0,85 % енергії заводу. З 1,292 Дж, вкладених під час заводу, крильчатка забрала 1,153 Дж, а язички — 52,8 мДж. Язичок без тягарця зберігає в першій моді 97,07 % енергії щипка; у C6 через секунду від неї лишається 13,9 %, а його друга мода з частотою 6558 Гц втрачає 71 % за десяту частку секунди. Язичок G6, вкорочений на пів міліметра, звучить на 109 центів вище, і його ноти на екрані сходять зі свого рядка.
Модель: колісна передача — одне тіло, зведене до валика, майже вся інерція якого припадає на крильчатку; на нього діють квадратичний опір крильчатки та кулонове тертя, що втримує зупинену передачу на місці; пружина лінійна. Штифт — точка, що піднімає свій язичок квазістатично: період коливань язичка становить тисячну частку тривалості підйому; свинцевий тягарець — точкова маса на кінці; кожен язичок звучить на двох точно розрахованих модах, а енергію, яку під час зриву забирають вищі моди, зараховано як клацання; штифт, що зустрічає язичок, який ще звучить, гасить його. Звук не випромінюється: енергія музики — це коливання язичків. RK4 із кроком 1/120 с, момент кожної події уточнюється всередині кроку; енергетичний баланс сходиться з урахуванням заводу, пружини, крильчатки, тертя, ковзання штифтів і язичків.
Що спробувати
Роздивіться зблизька гребінку, поки штифти піднімають язички, і екран поруч зі скринькою, де кожну ноту записано на її висоті. Зменште лопаті й порівняйте темп, почніть із неповного заводу, щоб побачити, як скринька зупиняється, або вкоротіть язичок і знайдіть його ноти поза їхнім рядком.
Рівняння модуля
Рівняння f = β²/(2π)·√(E·I/(ρ·A·L⁴)), 1 + cos β·cosh β + μ·β·(cos β·sinh β − sin β·cosh β) = 0 k = 3·E·I/L³, y = R·sin φ − y₀, E_pluck = ½·k·y² I·dω/dt = K·θ/G − T_pins − T_f − C·ω², C = c·N³ ω = √((K·θ/G − T_f)/C), dω/dt = −K/(2·G²·C) E_n(t) = E_n(0)·e^(−η·ω_n·t)
