Engineering
Центрифуга-роздільник
Розкрутіть у центрифузі дві пробірки з великими й дрібними кульками та зупиніть цикл, коли великі вже на дні, а більшість дрібних ще лишається у зваженому стані; порівняйте короткі й довгі цикли, різні частоти обертання та в’язкішу рідину. Потім налийте в урівноважувальну пробірку менше води й подивіться, як вал ротора починає описувати кола під час проходження критичної частоти обертання: за повільного розгону спрацьовує датчик дисбалансу, за швидкого ротор проскакує її, а з вимкненим гальмом його знову трясе на вибігу.
Що відбувається
Настільна центрифуга з чотиримісним ротором із підвісними стаканами обертає дві пробірки по 10 мл води з полістирольними кульками двох сортів діаметром 3 мкм і 1 мкм у зваженому стані, кожного сорту по 1 % об’єму; у двох інших стаканах стоять урівноважувальні пробірки з водою. Стакани підвішені на шарнірах за 90 мм від осі й відхиляються назовні, доки сума прискорення вільного падіння та відцентрового прискорення не буде спрямована вздовж них; у відхилених стаканах рідина розташована на відстані від 118 до 183 мм від осі. Кулька зміщується назовні зі швидкістю Стокса K·ω²·r, де K = d²·(ρ_p − ρ_l)/(18μ), тому втричі більші кульки рухаються вдев’ятеро швидше, а розділення визначається величиною ∫ω²dt: стовп рідини освітлюється, починаючи від меніска, решта суспензії розбавляється, і на дно потрапляє частка r_b·(1 − e^(−K·∫ω²dt))/(r_b − r_m) кульок кожного сорту. Двигун і ротор загальною масою 4,36 кг стоять на гумових опорах жорсткістю 7600 Н/м: урівноважувальна пробірка, у яку недолили води, зміщує їхній центр мас з осі, і вал описує на опорах коло — це ротор Джеффкотта з критичною частотою обертання 399 об/хв. Привід витримує заданий темп розгону й гальмування, розвиваючи не більше ніж 2 Н·м і 500 Вт.
За 3000 об/хв дно пробірки зазнає прискорення 1841 g. Цикл за замовчуванням — розгін із темпом 500 (об/хв)/с, 3 хв на заданій частоті, гальмування — набирає ∫ω²dt = 18,2·10⁶ рад²/с: усі великі кульки опиняються на дні, бо їм потрібно 17,6·10⁶, а з дрібних — лише 13,8 %. За одну хвилину на дно осідає 41 % великих кульок; за десять хвилин — 43 % дрібних, а за частоти 5000 об/хв протягом 3 хв — 37 % дрібних. У рідині, в’язкість якої вдесятеро більша, на дно опускається лише 12,5 % великих кульок. Якщо в урівноважувальній пробірці бракує 2 г, зміщення вала на критичній частоті сягає 0,39 мм, а потім зменшується до 70 мкм, причому вал зміщений у бік, протилежний важкій пробірці: вище за критичну частоту ротор обертається навколо свого центру мас. Якщо бракує 10 г, зміщення через 0,99 с досягає порога датчика дисбалансу 1,8 мм, і цикл переривається з гальмуванням; за темпу 1000 (об/хв)/с ротор проходить критичну частоту зі зміщенням 1,65 мм. На вільному вибігу з вимкненим гальмом ротор повільно проходить критичну частоту, і зміщення за недоливу 2 г зростає до 0,56 мм. Тертя об повітря забирає 9,9 кДж із 12,0 кДж роботи двигуна.
Модель: стакани відхиляються квазістатично, рідина обертається разом із ротором; суспензія розбавлена, без стисненого осадження; опір за законом Стокса (число Рейнольдса 0,14 для кульки діаметром 10 мкм за 5000 об/хв); броунівська дифузія не враховується; опори зміщуються лише горизонтально. RK4 із кроком 1/1200 с; енергетичний баланс сходиться: робота двигуна дорівнює енергії ротора плюс втрати в гальмі, на тертя об повітря, у підшипниках і на демпфування опор, а кожна кулька перебуває або у зваженому стані, або на дні.
Що спробувати
Стежте, як пробірки зі зразками освітлюються згори, і зупиніть цикл, коли великі кульки вже на дні, а дрібні ще каламутять рідину. Потім налийте в урівноважувальну пробірку менше води та зменште темп розгону, щоб побачити, як через зміщення вала спрацьовує датчик дисбалансу.
Рівняння модуля
Рівняння v = K·ω²·r, K = d²·(ρ_p − ρ_l)/(18μ) n_b/n = r_b·(1 − e^(−K·∫ω²dt))/(r_b − r_m) g·sin θ = ω²·(R + l·sin θ)·cos θ M·d²z/dt² + c·dz/dt + k·z = M·e·(ω² − i·dω/dt)·e^(iφ) J·dω/dt = T_motor − T_loss + e·Im[(k·z + c·dz/dt)·e^(−iφ)]
