Engineering
Separatore centrifugo
Metti in centrifuga due provette con sferette grandi e piccole e ferma il ciclo quando le grandi sono sul fondo mentre la maggior parte delle piccole resta in sospensione; confronta cicli brevi e lunghi, velocità diverse e un liquido più viscoso. Poi riempi una provetta di bilanciamento meno del dovuto e guarda il rotore descrivere un’orbita mentre attraversa la velocità critica: con una rampa lenta scatta l’interruttore di sbilanciamento, con una rapida il rotore riesce a passare e, con il freno disattivato, torna a scuotersi mentre rallenta per inerzia.
Cosa succede
Una centrifuga da banco con rotore basculante a quattro posti fa girare due provette con 10 mL d’acqua in cui sono sospesi due tipi di sferette di polistirene, di 3 µm e 1 µm di diametro, ciascun tipo pari all’1 % del volume; gli altri due cestelli portano provette di bilanciamento piene d’acqua. I cestelli sono appesi a perni a 90 mm dall’asse e si inclinano verso l’esterno finché la gravità e l’accelerazione centrifuga, sommate, non sono dirette lungo di essi; a cestelli inclinati, il liquido si trova tra 118 e 183 mm dall’asse. Una sferetta deriva verso l’esterno alla sua velocità di Stokes K·ω²·r, con K = d²·(ρ_p − ρ_l)/(18μ), quindi sferette tre volte più grandi si muovono nove volte più in fretta, e la separazione è fissata da ∫ω²dt: la colonna si schiarisce a partire dal menisco, il resto della sospensione si diluisce e la frazione r_b·(1 − e^(−K·∫ω²dt))/(r_b − r_m) di ciascun tipo raggiunge il fondo. Motore e rotore, 4,36 kg in tutto, poggiano su supporti in gomma da 7600 N/m: una provetta di bilanciamento riempita meno del dovuto sposta il loro baricentro fuori dall’asse, e l’albero descrive un’orbita come un rotore di Jeffcott con velocità critica di 399 giri/min. L’azionamento segue la sua rampa entro i limiti di 2 N·m e 500 W.
A 3000 giri/min il fondo di una provetta subisce 1841 g. Il ciclo predefinito – salita a 500 (giri/min)/s, 3 min alla velocità impostata, frenata – accumula ∫ω²dt = 18,2·10⁶ rad²/s: tutte le sferette grandi sono sul fondo, perché ne richiedono 17,6·10⁶, ma delle piccole solo il 13,8 %. Un minuto porta sul fondo il 41 % delle sferette grandi; dieci minuti il 43 % delle piccole, e 5000 giri/min il 37 % delle piccole in 3 min. Un liquido dieci volte più viscoso lascia scendere solo il 12,5 % delle sferette grandi. Se alla provetta di bilanciamento mancano 2 g, lo spostamento dell’albero raggiunge il massimo di 0,39 mm alla velocità critica e si assesta a 70 µm, dalla parte opposta alla provetta pesante: sopra la velocità critica il rotore gira attorno al proprio baricentro. Se ne mancano 10 g, lo spostamento raggiunge dopo 0,99 s la soglia di 1,8 mm dell’interruttore di sbilanciamento e il ciclo viene interrotto con frenata; a 1000 (giri/min)/s il rotore passa con 1,65 mm. In arresto per inerzia, con il freno disattivato, il rotore attraversa lentamente la velocità critica e lo spostamento dovuto ai 2 g mancanti cresce fino a 0,56 mm. L’attrito con l’aria assorbe 9,9 kJ dei 12,0 kJ forniti dal motore.
Modello: i cestelli si inclinano in modo quasi statico e il liquido ruota con il rotore; sospensione diluita, senza sedimentazione ostacolata; resistenza di Stokes (numero di Reynolds 0,14 per una sferetta di 10 µm a 5000 giri/min); niente diffusione browniana; i supporti si muovono solo in orizzontale. RK4 con passi di 1/1200 s; il bilancio energetico si chiude: il lavoro del motore è pari all’energia dissipata da freno, attrito con l’aria, cuscinetti e smorzamento dei supporti più l’energia del rotore, e ogni sferetta è in sospensione oppure sul fondo.
Da provare
Guarda le provette dei campioni schiarirsi dall’alto e ferma il ciclo quando le sferette grandi sono sul fondo mentre le piccole intorbidano ancora la provetta. Poi riempi una provetta di bilanciamento meno del dovuto e rallenta la rampa per vedere lo spostamento dell’albero far scattare l’interruttore di sbilanciamento.
Equazioni del modulo
Equazioni v = K·ω²·r, K = d²·(ρ_p − ρ_l)/(18μ) n_b/n = r_b·(1 − e^(−K·∫ω²dt))/(r_b − r_m) g·sin θ = ω²·(R + l·sin θ)·cos θ M·d²z/dt² + c·dz/dt + k·z = M·e·(ω² − i·dω/dt)·e^(iφ) J·dω/dt = T_motor − T_loss + e·Im[(k·z + c·dz/dt)·e^(−iφ)]
