Engineering
Центрифуга-разделитель
Раскрутите в центрифуге две пробирки с крупными и мелкими шариками и остановите цикл, когда крупные уже на дне, а большинство мелких ещё остаётся во взвеси; сравните короткие и длинные циклы, разные частоты вращения и более вязкую жидкость. Затем налейте в уравновешивающую пробирку меньше воды и посмотрите, как вал ротора начинает описывать окружности при прохождении критической частоты вращения: при медленном разгоне срабатывает датчик дисбаланса, при быстром ротор проскакивает её, а с выключенным тормозом его снова трясёт на выбеге.
Что происходит
Настольная центрифуга с четырёхместным ротором с качающимися стаканами вращает две пробирки по 10 мл воды, в которой взвешены полистирольные шарики двух сортов диаметром 3 мкм и 1 мкм, каждого сорта по 1 % объёма; в двух других стаканах стоят уравновешивающие пробирки с водой. Стаканы подвешены на шарнирах в 90 мм от оси и отклоняются наружу, пока сумма ускорения свободного падения и центробежного ускорения не окажется направленной вдоль них; в отклонённых стаканах жидкость находится на расстоянии от 118 до 183 мм от оси. Шарик смещается наружу со скоростью Стокса K·ω²·r, где K = d²·(ρ_p − ρ_l)/(18μ), поэтому втрое более крупные шарики движутся в девять раз быстрее, а разделение определяется величиной ∫ω²dt: столб жидкости осветляется сверху вниз, от мениска, остальная суспензия разбавляется, и на дно попадает доля r_b·(1 − e^(−K·∫ω²dt))/(r_b − r_m) шариков каждого сорта. Двигатель и ротор общей массой 4,36 кг стоят на резиновых опорах жёсткостью 7600 Н/м: уравновешивающая пробирка, в которую недолили воды, смещает их центр масс с оси, и вал описывает на опорах окружность — это ротор Джеффкотта с критической частотой вращения 399 об/мин. Привод выдерживает заданный темп разгона и торможения, развивая не более 2 Н·м и 500 Вт.
При 3000 об/мин дно пробирки испытывает ускорение 1841 g. Цикл по умолчанию — разгон с темпом 500 (об/мин)/с, 3 мин на заданной частоте, торможение — набирает ∫ω²dt = 18,2·10⁶ рад²/с: все крупные шарики оказываются на дне, так как им нужно 17,6·10⁶, а из мелких — лишь 13,8 %. За одну минуту на дно уходит 41 % крупных шариков; за десять минут — 43 % мелких, а при 5000 об/мин за 3 мин — 37 % мелких. В жидкости, вязкость которой в десять раз больше, на дно опускается лишь 12,5 % крупных шариков. Если в уравновешивающей пробирке недостаёт 2 г, смещение вала на критической частоте достигает 0,39 мм, а затем уменьшается до 70 мкм, причём вал смещён в сторону, противоположную тяжёлой пробирке: выше критической частоты ротор вращается вокруг своего центра масс. При недоливе 10 г смещение через 0,99 с достигает порога датчика дисбаланса 1,8 мм, и цикл прерывается с торможением; при темпе 1000 (об/мин)/с ротор проходит критическую частоту со смещением 1,65 мм. На свободном выбеге с выключенным тормозом ротор медленно проходит критическую частоту, и смещение при недоливе 2 г вырастает до 0,56 мм. Трение о воздух забирает 9,9 кДж из 12,0 кДж работы двигателя.
Модель: стаканы отклоняются квазистатически, жидкость вращается вместе с ротором; суспензия разбавленная, без стеснённого осаждения; сопротивление по закону Стокса (число Рейнольдса 0,14 для шарика диаметром 10 мкм при 5000 об/мин); броуновская диффузия не учитывается; опоры смещаются только горизонтально. RK4 с шагом 1/1200 с; энергетический баланс сходится: работа двигателя равна энергии ротора плюс потери в тормозе, на трение о воздух, в подшипниках и на демпфирование опор, а каждый шарик находится либо во взвеси, либо на дне.
Что попробовать
Следите, как пробирки с образцами осветляются сверху, и остановите цикл, когда крупные шарики уже на дне, а мелкие ещё мутят жидкость. Затем налейте в уравновешивающую пробирку меньше воды и уменьшите темп разгона, чтобы увидеть, как из-за смещения вала срабатывает датчик дисбаланса.
Уравнения модуля
Уравнения v = K·ω²·r, K = d²·(ρ_p − ρ_l)/(18μ) n_b/n = r_b·(1 − e^(−K·∫ω²dt))/(r_b − r_m) g·sin θ = ω²·(R + l·sin θ)·cos θ M·d²z/dt² + c·dz/dt + k·z = M·e·(ω² − i·dω/dt)·e^(iφ) J·dω/dt = T_motor − T_loss + e·Im[(k·z + c·dz/dt)·e^(−iφ)]
