Engineering
Caja de música mecánica
Dé cuerda al muelle y observe cómo el cilindro de púas puntea los dientes de acero del peine mientras el volante de aletas, un freno de aire, mantiene el tempo; la pantalla junto a la caja escribe cada nota a la altura a la que suena. Reduzca las aletas del volante para que la caja toque más deprisa, deje que se acabe la cuerda hasta que el mecanismo se detenga en un acorde, amortigüe más los dientes o acorte un diente y vea cómo su nota abandona su fila.
Qué ocurre
Una caja de música de cilindro al estilo suizo. Un muelle real de acero con una rigidez de 4,09 mN·m por radián, al que se han dado cuatro vueltas de cuerda, hace girar el cilindro de latón a través de la rueda grande del barrilete, a 4:1, y el cilindro hace girar, a través de un tren de engranajes de 2160:1, un volante de aletas que actúa como freno de aire. La resistencia del aire sobre sus dos aletas crece con el cuadrado de su velocidad, de modo que un par constante da un tempo constante, ω = √((K·θ/G − T_f)/C). Las púas del cilindro levantan los 18 dientes de acero del peine, de 0,5 mm de espesor y afinados en la escala de do mayor de G4 a C7: los dientes agudos por su longitud, f ∝ t/L², y los cinco dientes graves con plomo en la punta (44,3 mg para G4). Una púa alcanza la punta de un diente 12° por encima del eje, la levanta 0,25 mm venciendo su rigidez 3·E·I/L³ y se escapa; el diente vibra en sus dos primeros modos de flexión, el segundo de los cuales no es un armónico, y se va apagando.
Partiendo del reposo, el primer acorde suena a los 1,198 s, y el regulador se estabiliza en 95,8 pulsaciones por minuto con «Estrellita, ¿dónde estás?»; levantar un acorde de cuatro dientes frena la música hasta 93,4, y el acorde de siete dientes que cierra la escala la arrastra de 77,4 a 70,1. Con aletas de 5 mm de altura en lugar de 10, la melodía suena 1,42 veces más rápido. A medida que el muelle se descarga, el tempo cae casi lo mismo cada segundo: tras 11,8 minutos y 1333 notas, el último acorde suena a 16,7 pulsaciones por minuto, el siguiente detiene el tren, y este queda parado con los dientes levantados 0,025 mm y 11,0 mJ, el 0,85 % de la cuerda, todavía en el muelle. De los 1,292 J de la cuerda, el volante se llevó 1,153 J y los dientes 52,8 mJ. Un diente sin plomo conserva en su primer modo el 97,07 % de la energía de un punteo; C6 retiene el 13,9 % al cabo de un segundo, mientras que su segundo modo, de 6558 Hz, pierde el 71 % en una décima de segundo. G6, acortado medio milímetro, suena 109 cents más agudo, y sus notas se salen de su fila en la pantalla.
Modelo: el tren es un único cuerpo reducido al cilindro, cuya inercia es casi toda la del volante, con la resistencia cuadrática del volante y un rozamiento de Coulomb que mantiene inmóvil un tren en reposo; el muelle es lineal. Una púa es un punto que levanta su diente de forma cuasiestática, siendo el período del diente una milésima de la duración del levantamiento; un plomo es una masa puntual en la punta; cada diente vibra en dos modos calculados exactamente, y lo que se llevan los modos superiores al soltarse se contabiliza como el chasquido; una púa que alcanza un diente que aún vibra lo detiene. No se radia sonido: la energía de la música es la vibración de los dientes. RK4 con paso de 1/120 s, con cada evento localizado dentro de su paso; el balance de energía cuadra con la cuerda, el muelle, el volante, el rozamiento, el deslizamiento de las púas y los dientes.
Qué probar
Mire de cerca el peine mientras las púas levantan los dientes, y la pantalla junto a la caja, donde cada nota se escribe a su altura. Reduzca las aletas y compare el tempo, empiece con poca cuerda para ver cómo se agota, o acorte un diente y busque sus notas fuera de su fila.
Ecuaciones del módulo
Ecuaciones f = β²/(2π)·√(E·I/(ρ·A·L⁴)), 1 + cos β·cosh β + μ·β·(cos β·sinh β − sin β·cosh β) = 0 k = 3·E·I/L³, y = R·sin φ − y₀, E_pluck = ½·k·y² I·dω/dt = K·θ/G − T_pins − T_f − C·ω², C = c·N³ ω = √((K·θ/G − T_f)/C), dω/dt = −K/(2·G²·C) E_n(t) = E_n(0)·e^(−η·ω_n·t)
