Engineering
Autoscala dei vigili del fuoco
Di notte, davanti a una casa in fiamme, un’autoscala poggia sui suoi quattro stabilizzatori e alza la scala girevole verso una finestra dell’ultimo piano. I quattro tronchi telescopici si flettono come una mensola a gradini la cui freccia in forma chiusa coincide con l’integrale del carico unitario, e la scala è disegnata flessa di conseguenza, ingrandita. Quando una seconda persona sale nel cestello la punta scende di m g cos θ/k e supera il punto, poi oscilla alla prima frequenza flessionale sqrt(k/m_eff)/2π smorzandosi con il decremento logaritmico 2πζ; anche una raffica la fa oscillare. Ritira gli stabilizzatori e le piastre si dividono il carico in modo sempre più diseguale - a 1,5 m una si solleva mentre il cestello oscilla, a 1,2 m il mezzo si ribalterebbe. Il diagramma di carico dà il carico sicuro in funzione dello sbraccio, e il lavoro dei carichi è seguito fino all’oscillazione e allo smorzamento.
Cosa succede
Una scala girevole di quattro tronchi telescopici lunghi 6,8 m ciascuno, su un mezzo di 12 t con una torretta di 3,2 t. I tronchi si estendono insieme, ognuno sporgendo da 0,6 a 5,8 m oltre quello sottostante, così la scala è lunga da 8,6 a 24,2 m; le loro rigidezze flessionali sono 1,0·10^8, 5,5·10^7, 3,0·10^7 e 1,5·10^7 N·m² e le loro masse 1100, 800, 560 e 380 kg. Dove i tronchi si sovrappongono, rigidezze e pesi si sommano: una mensola a gradini, incastrata alla torretta. Il suo peso e il cestello di 180 kg con il suo carico, scomposti trasversalmente all’asse (cos θ), la flettono; la freccia è integrata in forma chiusa su ogni segmento (lì il momento è quadratico) e coincide con l’integrale del carico unitario di M m/EI fino a 10^-12. Il primo modo flessionale è un oscillatore di Rayleigh della punta: k dalla freccia sotto una forza unitaria in punta, m_eff = cestello + il peso per metro per il quadrato di quella deformata, rapporto di smorzamento 3 %. Una persona di 90 kg che sale è un carico a gradino con un salto di massa (quantità di moto conservata); una raffica di 18 m/s spinge con una resistenza che cresce come sin² in 2 s. Passi impliciti del punto medio di 1 ms mantengono esatto il bilancio. Il mezzo è un telaio rigido su quattro molle di piastra uguali a 1,6 e −3,9 m in senso longitudinale e da ±1,2 a ±2,4 m in senso trasversale: una piastra che dovrebbe tirare si solleva e tre portano il carico; con la risultante fuori dalle piastre il mezzo si ribalterebbe. I carichi a cui una piastra si solleva, a cui il mezzo si ribalta, e il carico sicuro (momento stabilizzante 1,5 volte quello ribaltante, al massimo 270 kg) seguono in forma chiusa dai momenti attorno ai bordi delle piastre.
Da provare
Guarda la punta scendere e oscillare quando sale la seconda persona, e leggi la frequenza di oscillazione rispetto alla formula chiusa; aggiungi una raffica; ritira gli stabilizzatori a 1,5 m e guarda una piastra sollevarsi durante l’oscillazione, a 1,2 m e il mezzo si ribalterebbe; estendi del tutto la scala e abbassala per vedere il carico sicuro calare con lo sbraccio.
Il modello e i suoi limiti
Una trave lineare solo nel suo piano, senza accorciamento assiale, torsione o oscillazione laterale; un solo modo flessionale; un telaio rigido su molle di piastra uguali; il cestello in punta, statica sulla geometria indeformata. Carichi e limiti sono quelli di questo mezzo idealizzato, non una tabella d’impiego.
Equazioni del modulo
Equazioni EI(s)·d²w/ds² = M(s) = F·(L − s) + Σ q_j·∫(t − s) dt, δ = ∫ M·(L − s)/EI ds k = 1/w_1(L), m_eff = m_c + ∫ μ·(w_1/w_1(L))² ds, f = √(k/m_eff)/2π m_eff·a + c·v + k·y = k·δ_s(t), c = 2ζ·√(k·m_eff), Λ = 2πζ/√(1 − ζ²) R_i = W/4 + B·(x_i − x_c) + C·z_i, P_tip = Σ m_j·a_j/(−a_c), P_safe = (M_s/1.5 − M_o)/(−a_c)
