Engineering
Escalera aérea de bomberos
De noche, ante una casa en llamas, un camión de bomberos se apoya en sus cuatro estabilizadores y eleva su escalera giratoria hacia una ventana del último piso. Los cuatro tramos telescópicos se flexionan como una ménsula escalonada cuya flecha en fórmula cerrada coincide con la integral de carga unitaria, y la escalera se dibuja flexionada por ella, ampliada. Cuando una segunda persona sube a la cesta, la punta baja m g cos θ/k y se pasa de largo, luego oscila a la primera frecuencia de flexión sqrt(k/m_eff)/2π y se amortigua con el decremento logarítmico 2πζ; una ráfaga también la hace oscilar. Recoge los estabilizadores y las zapatas se reparten la carga de forma cada vez más desigual - a 1,5 m una se levanta mientras la cesta oscila, a 1,2 m el camión volcaría. El diagrama de cargas da la carga segura según el alcance, y el trabajo de las cargas se sigue hasta la oscilación y el amortiguamiento.
Qué ocurre
Una escalera giratoria de cuatro tramos telescópicos de 6,8 m cada uno, sobre un camión de 12 t con una torreta de 3,2 t. Los tramos se extienden a la vez, cada uno sobresaliendo de 0,6 a 5,8 m del inferior, de modo que la escalera mide de 8,6 a 24,2 m; sus rigideces a flexión son 1,0·10^8, 5,5·10^7, 3,0·10^7 y 1,5·10^7 N·m² y sus masas 1100, 800, 560 y 380 kg. Donde los tramos se solapan, sus rigideces y pesos se suman: una ménsula escalonada, empotrada en la torreta. Su peso y la cesta de 180 kg con su carga, proyectados perpendicularmente al eje (cos θ), la flexionan; la flecha se integra en forma cerrada en cada segmento (allí el momento es cuadrático) y coincide con la integral de carga unitaria de M m/EI hasta 10^-12. El primer modo de flexión es un oscilador de Rayleigh de la punta: k a partir de la flecha bajo una fuerza unitaria en la punta, m_eff = cesta + el peso por metro por el cuadrado de esa deformada, razón de amortiguamiento 3 %. Una persona de 90 kg que sube es una carga escalón con un salto de masa (se conserva la cantidad de movimiento); una ráfaga de 18 m/s empuja con una resistencia que crece como sin² durante 2 s. Pasos implícitos de punto medio de 1 ms mantienen exacto el balance. El camión es un chasis rígido sobre cuatro muelles de zapata iguales a 1,6 y −3,9 m a lo largo y de ±1,2 a ±2,4 m a lo ancho: una zapata que tendría que tirar se levanta y tres llevan la carga; con la resultante fuera de las zapatas el camión volcaría. Las cargas a las que una zapata se levanta, a las que el camión vuelca, y la carga segura (momento estabilizador 1,5 veces el de vuelco, como máximo 270 kg) se obtienen en forma cerrada de los momentos respecto a los bordes de las zapatas.
Qué probar
Mira la punta bajar y oscilar cuando sube la segunda persona, y lee la frecuencia de oscilación frente a la fórmula cerrada; añade una ráfaga; recoge los estabilizadores a 1,5 m y mira una zapata levantarse durante la oscilación, a 1,2 m y el camión volcaría; extiende la escalera del todo y bájala para ver la carga segura caer con el alcance.
El modelo y sus límites
Una viga lineal solo en su plano, sin acortamiento axial, torsión ni oscilación lateral; un solo modo de flexión; un chasis rígido sobre muelles de zapata iguales; la cesta en la punta, estática sobre la geometría sin deformar. Cargas y límites son los de este camión idealizado, no una tabla de servicio.
Ecuaciones del módulo
Ecuaciones EI(s)·d²w/ds² = M(s) = F·(L − s) + Σ q_j·∫(t − s) dt, δ = ∫ M·(L − s)/EI ds k = 1/w_1(L), m_eff = m_c + ∫ μ·(w_1/w_1(L))² ds, f = √(k/m_eff)/2π m_eff·a + c·v + k·y = k·δ_s(t), c = 2ζ·√(k·m_eff), Λ = 2πζ/√(1 − ζ²) R_i = W/4 + B·(x_i − x_c) + C·z_i, P_tip = Σ m_j·a_j/(−a_c), P_safe = (M_s/1.5 − M_o)/(−a_c)
