Engineering
Пожарная автолестница
Ночью перед горящим домом пожарная машина стоит на четырёх выносных опорах и поднимает автолестницу к окну верхнего этажа. Четыре телескопических колена изгибаются как ступенчатая консоль, прогиб которой по замкнутой формуле совпадает с интегралом единичной нагрузки, и лестница рисуется изогнутой по нему, с увеличением. Когда в люльку входит второй человек, вершина опускается на m g cos θ/k с перерегулированием, затем качается с первой изгибной частотой sqrt(k/m_eff)/2π и затухает с логарифмическим декрементом 2πζ; порыв ветра тоже раскачивает её. Сдвиньте опоры — и нагрузка на пяты распределяется всё неравномернее: при 1,5 м одна отрывается, пока люлька качается, при 1,2 м машина опрокинулась бы. Грузовая диаграмма даёт допустимую нагрузку в зависимости от вылета, а работа нагрузок прослеживается в раскачивание и демпфирование.
Что происходит
Автолестница из четырёх телескопических колен длиной по 6,8 м на машине массой 12 т с поворотным основанием 3,2 т. Колена выдвигаются вместе, каждое выступает на 0,6–5,8 м за нижнее, так что длина лестницы 8,6–24,2 м; их изгибные жёсткости 1,0·10^8, 5,5·10^7, 3,0·10^7 и 1,5·10^7 Н·м², а массы 1100, 800, 560 и 380 кг. Где колена перекрываются, их жёсткости и веса складываются: ступенчатая консоль, защемлённая на поворотном основании. Её изгибают собственный вес и люлька 180 кг с грузом, разложенные поперёк оси (cos θ); прогиб интегрируется в замкнутой форме на каждом участке (момент там квадратичен) и совпадает с интегралом единичной нагрузки от M m/EI до 10^-12. Первая изгибная мода — осциллятор Рэлея вершины: k из прогиба под единичной силой на вершине, m_eff = люлька + погонный вес, умноженный на квадрат этой формы, коэффициент демпфирования 3 %. Человек массой 90 кг, входящий в люльку, — ступенчатая нагрузка со скачком массы (импульс сохраняется); порыв 18 м/с давит с сопротивлением, нарастающим как sin² за 2 с. Неявные шаги средней точки по 1 мс сохраняют баланс точным. Машина — жёсткое шасси на четырёх одинаковых пружинах пят в 1,6 и −3,9 м вдоль него и в ±1,2–±2,4 м поперёк: пята, которая должна была бы тянуть, отрывается, и нагрузку несут три; если равнодействующая выходит за пяты, машина опрокинулась бы. Нагрузки, при которых отрывается пята и при которых опрокидывается машина, и допустимая нагрузка (удерживающий момент в 1,5 раза больше опрокидывающего, не более 270 кг) следуют в замкнутой форме из моментов относительно краёв пят.
Что попробовать
Смотрите, как вершина опускается и качается, когда входит второй человек, и сравните частоту раскачивания с замкнутой формулой; добавьте порыв; сдвиньте опоры до 1,5 м и смотрите, как пята отрывается при раскачивании, до 1,2 м — и машина опрокинулась бы; выдвиньте лестницу полностью и опустите её, чтобы увидеть, как допустимая нагрузка падает с вылетом.
Модель и её ограничения
Линейная балка только в своей плоскости, без осевого укорочения, кручения и боковых колебаний; одна изгибная мода; жёсткое шасси на одинаковых пружинах пят; люлька на вершине, статика на недеформированной геометрии. Нагрузки и пределы — этой идеализированной машины, а не эксплуатационная таблица.
Уравнения модуля
Уравнения EI(s)·d²w/ds² = M(s) = F·(L − s) + Σ q_j·∫(t − s) dt, δ = ∫ M·(L − s)/EI ds k = 1/w_1(L), m_eff = m_c + ∫ μ·(w_1/w_1(L))² ds, f = √(k/m_eff)/2π m_eff·a + c·v + k·y = k·δ_s(t), c = 2ζ·√(k·m_eff), Λ = 2πζ/√(1 − ζ²) R_i = W/4 + B·(x_i − x_c) + C·z_i, P_tip = Σ m_j·a_j/(−a_c), P_safe = (M_s/1.5 − M_o)/(−a_c)
