Engineering
Пожежна автодрабина
Уночі перед палаючим будинком пожежна машина стоїть на чотирьох виносних опорах і піднімає автодрабину до вікна верхнього поверху. Чотири телескопічні коліна згинаються як східчаста консоль, прогин якої за замкненою формулою збігається з інтегралом одиничного навантаження, і драбина малюється вигнутою за ним, зі збільшенням. Коли в люльку входить друга людина, вершина опускається на m g cos θ/k з перерегулюванням, потім гойдається з першою згинальною частотою sqrt(k/m_eff)/2π і згасає з логарифмічним декрементом 2πζ; порив вітру теж розгойдує її. Зсуньте опори — і навантаження на п’яти розподіляється дедалі нерівномірніше: при 1,5 м одна відривається, поки люлька гойдається, при 1,2 м машина перекинулася б. Вантажна діаграма дає допустиме навантаження залежно від вильоту, а робота навантажень простежується в розгойдування і демпфування.
Що відбувається
Автодрабина з чотирьох телескопічних колін завдовжки по 6,8 м на машині масою 12 т із поворотною основою 3,2 т. Коліна висуваються разом, кожне виступає на 0,6–5,8 м за нижнє, тож довжина драбини 8,6–24,2 м; їхні згинальні жорсткості 1,0·10^8, 5,5·10^7, 3,0·10^7 і 1,5·10^7 Н·м², а маси 1100, 800, 560 і 380 кг. Де коліна перекриваються, їхні жорсткості й ваги додаються: східчаста консоль, затиснута на поворотній основі. Її згинають власна вага і люлька 180 кг із вантажем, розкладені поперек осі (cos θ); прогин інтегрується в замкненій формі на кожній ділянці (момент там квадратичний) і збігається з інтегралом одиничного навантаження від M m/EI до 10^-12. Перша згинальна мода — осцилятор Релея вершини: k із прогину під одиничною силою на вершині, m_eff = люлька + погонна вага, помножена на квадрат цієї форми, коефіцієнт демпфування 3 %. Людина масою 90 кг, що входить у люльку, — східчасте навантаження зі стрибком маси (імпульс зберігається); порив 18 м/с тисне з опором, що наростає як sin² за 2 с. Неявні кроки середньої точки по 1 мс зберігають баланс точним. Машина — жорстке шасі на чотирьох однакових пружинах п’ят на 1,6 і −3,9 м уздовж нього і на ±1,2–±2,4 м поперек: п’ята, яка мала б тягнути, відривається, і навантаження несуть три; якщо рівнодійна виходить за п’яти, машина перекинулася б. Навантаження, за яких відривається п’ята і за яких перекидається машина, та допустиме навантаження (утримувальний момент у 1,5 раза більший за перекидальний, не більше 270 кг) випливають у замкненій формі з моментів відносно країв п’ят.
Що спробувати
Дивіться, як вершина опускається й гойдається, коли входить друга людина, і порівняйте частоту розгойдування із замкненою формулою; додайте порив; зсуньте опори до 1,5 м і дивіться, як п’ята відривається під час розгойдування, до 1,2 м — і машина перекинулася б; висуньте драбину повністю й опустіть її, щоб побачити, як допустиме навантаження падає з вильотом.
Модель та її обмеження
Лінійна балка лише у своїй площині, без осьового вкорочення, скручування і бічних коливань; одна згинальна мода; жорстке шасі на однакових пружинах п’ят; люлька на вершині, статика на недеформованій геометрії. Навантаження й межі — цієї ідеалізованої машини, а не експлуатаційна таблиця.
Рівняння модуля
Рівняння EI(s)·d²w/ds² = M(s) = F·(L − s) + Σ q_j·∫(t − s) dt, δ = ∫ M·(L − s)/EI ds k = 1/w_1(L), m_eff = m_c + ∫ μ·(w_1/w_1(L))² ds, f = √(k/m_eff)/2π m_eff·a + c·v + k·y = k·δ_s(t), c = 2ζ·√(k·m_eff), Λ = 2πζ/√(1 − ζ²) R_i = W/4 + B·(x_i − x_c) + C·z_i, P_tip = Σ m_j·a_j/(−a_c), P_safe = (M_s/1.5 − M_o)/(−a_c)
