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Volo a vela nelle termiche

Vola con un aliante bianco da 15 m sopra un’ampia valle alpina in un pomeriggio estivo vigoroso: spirala in una termica sotto il suo cumulo, sali verso la base della nube, poi plana fino alla nube successiva e sali di nuovo. La polare delle velocità a V³ + b/V dà le velocità di minima discesa e di massima efficienza e un’efficienza massima di 40; in una termica gaussiana l’inclinazione che sale meglio ha una forma chiusa tramite la funzione W di Lambert: troppo poco inclinato e il cerchio resta fuori dal nucleo, troppo inclinato e la discesa in virata si mangia l’ascendenza. Tra una termica e l’altra la velocità di MacCready è la tangente alla polare tracciata dalla salita attesa, e la velocità di trasferimento misurata segue V c/(c + w_s). Disattiva la centratura e un cerchio fuori centro scende fuori dall’ascendenza; indebolisci la termica e l’aliante atterra in un campo. Ogni joule di quota e di velocità è seguito dall’aria ascendente fino alla resistenza.

Di Mykhailo Makarov

Volo a vela nelle termiche — Immagine reale dell’applicazione
Immagine reale dell’applicazione

Cosa succede

Un aliante da 15 m e 400 kg (10,5 m², allungamento 21,4, fattore di Oswald 0,92, C_D0 = 0.0095, C_Lmax = 1.6) è una massa puntiforme in aria calma di densità 1,1 kg/m³. La portanza ½ρV²S·C_L è perpendicolare alla velocità rispetto all’aria, inclinata di φ attorno a essa; la resistenza ½ρV²S·(C_D0 + k·C_L²), k = 1/(π·e·AR). In regime stazionario questa è la polare w_s = a·V³ + b/V, a = ρS·C_D0/2W, b = 2kW/ρS: minima discesa 0,65 m/s a 81 km/h, efficienza massima 40,4 a 107 km/h; in virata il raggio è V²/(g·tan φ) e la discesa a·V³ + b/(V·cos²φ), con l’elica esatta (sin γ = D/W, L·cos φ = W·cos γ) risolta accanto. Tre termiche gaussiane w = W0·exp(−r²/R²), da 3,5 m/s e 150 m, si attenuano come 1 − ((z − z1)/300 m)² sotto la base delle nubi a 2000 m. L’inclinazione migliore ha forma chiusa tramite la funzione di Lambert: u = −2·W(−√(b·q/(V·W0))/2), q = V^4/(gR)², tan φ = √(q/u), 47,8° e +1,76 m/s a 94 km/h; una salita concentrica si ferma a z1 + 300 m·√(1 − s/w(r)) = 1932 m. La velocità di MacCready risolve 2a·V^4 − c·V − 2b = 0 con il metodo di Ferrari, 157 km/h con 1,8 m/s, e la velocità di trasferimento è V·c/(c + w_s). L’autopilota imposta C_L per un g alla velocità attuale più un PI sull’errore rispetto a una velocità di riferimento che varia a 4 m/s², rolla fino a 34°/s, tiene il C_L della virata livellata sotto il 97 % di C_Lmax, centra riducendo l’inclinazione man mano che l’ascendenza netta cresce lungo la traiettoria e punta verso la nube successiva. Sottopassi di 20 ms tengono costanti C_L e l’inclinazione, prendono la forza nel punto medio e avanzano con la velocità media, così che m·g·z + m·v²/2 varia esattamente del lavoro dell’aria meno il lavoro della resistenza, a meno dell’arrotondamento; la quota di uscita, l’ingresso in termica, il traguardo e un atterraggio sono localizzati dentro il passo per bisezione.

Da provare

Guarda la prova di distanza: la salita all’inclinazione ottimale, la planata alla velocità di MacCready e la velocità della tratta rispetto alla previsione. Passa a Termica e imposta l’inclinazione a mano da 25° a 60°; disattiva la centratura con uno scostamento; vola in Planata a diverse velocità di crociera e leggi l’efficienza; aggiungi zavorra e guarda le velocità crescere con √m. Tieni la quota di uscita sotto il tetto.

Il modello e i suoi limiti

Una massa puntiforme senza dinamica di rotazione: l’autopilota imposta l’inclinazione tramite un limite di velocità di rollio e C_L direttamente; una polare parabolica senza l’aumento di resistenza ad alto C_L; densità dell’aria costante e niente vento, così che le termiche non derivano (rimandato a una fase successiva); termiche come colonne gaussiane stazionarie di intensità fissa senza discendenze attorno né turbolenza; un variometro netto ideale. Le montagne sono scenografia che il volo non incontra mai. La valle è disegnata in scala 1:300, l’aliante quattro volte più grande. Un modello didattico, non un simulatore di volo.

Equazioni del modulo
Equazioni
w_s(V) = a·V³ + b/V,  a = ρ·S·C_D0/(2W),  b = 2k·W/(ρ·S),  V_ms = (b/3a)^(1/4),  V_bg = (b/a)^(1/4),  (L/D)max = 1/(2√(C_D0·k))
c(φ) = W0·exp(−r²/R²) − a·V³ − b/(V·cos²φ),  r = V²/(g·tan φ),  tan φ* = √(q/u),  u = −2·W(−√(b·q/(V·W0))/2),  q = V^4/(g·R)²
m·dv/dt = L + D + m·g,  |L| = ½ρ·V_a²·S·C_L across v_a banked by φ,  |D| = ½ρ·V_a²·S·(C_D0 + k·C_L²),  v_a = v − w(x)·e_z
2a·V^4 − c·V − 2b = 0 (MacCready),  V_avg = V·c/(c + w_s(V)),  Δ(m·g·z + ½m·v²) = ∫F·w dt − ∫F·(v − w) dt

Altri esperimenti

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Decollo di un idrovolante — Immagine reale dell’applicazione

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Decollo di un idrovolante

Apri la manetta di un idrovolante a galleggianti da 1450 kg su un lago liscio come l’olio all’alba e guardalo uscire dall’acqua. All’inizio i due galleggianti portano tutto il peso per la legge di Archimede e avanzano a prua alta; man mano che la velocità cresce, i fondi plananti davanti ai redan li sollevano secondo la legge di Savitsky, la resistenza dell’acqua sale fino alla sua gobba, circa 2,8 kN a 11 m/s, un quinto del peso, e cala quando l’ala, la cui portanza cresce con il quadrato della velocità, scarica i galleggianti. Il pilota tiene l’assetto di planata con l’equilibratore nella scia dell’elica e ruota vicino alla velocità di distacco della formula chiusa: i galleggianti lasciano l’acqua dopo circa 420 m e l’aereo supera i 15 m dopo circa 740 m. Prova un assetto piatto o uno cabrato: uno bagna i galleggianti e corre il doppio, l’altro resta bloccato dietro la gobba; aggiungi peso, alza i flap, decolla controvento o con mare increspato, oppure interrompi la corsa.

Paracadute direzionabile — Immagine reale dell’applicazione

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Paracadute direzionabile

Pilota una vela a cassoni fino alla croce bersaglio di una zona di lancio all’alba. Portanza e resistenza seguono la polare dell’ala: con entrambi i comandi tirati rallenta e la planata si fa più ripida, con uno solo si inclina in virata, e ogni planata stazionaria, ogni velocità di discesa e ogni raggio di virata coincide con la sua formula chiusa - l’efficienza è CL/CD, e la velocità cresce man mano che l’aria si rarefà con la quota. Un vento trascina tutto il volo: il percorso nell’aria non cambia e la traccia al suolo deriva esattamente del vento per il tempo. Fai la richiamata a tre metri e la vela scambia la sua velocità con portanza e tocca terra a meno di un metro al secondo; falla a dieci e la velocità è esaurita prima del suolo. Affidala al pilota automatico, che corregge la deriva controvento, attende sottovento finché è alto e vola il finale controvento sui freni per atterrare sulla croce; ogni joule di quota e di velocità è seguito fino alla resistenza.

Fresatrice CNC — Immagine reale dell’applicazione

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Fresatrice CNC

Ricava una tasca in un blocco di alluminio: la fresa a candela apre prima una cava al centro e poi percorre anelli sempre più larghi fino alle pareti, mossa da servoassi e da un mandrino di potenza limitata. Confronta una passata leggera e una profonda, osserva l’impegno e la forza balzare negli angoli e abbassa la potenza del mandrino finché rallenta o si blocca; poi attiva l’avanzamento adattivo.