Math
Trasformazioni lineari
Tutto lo spazio deformato da una matrice: il cubo unitario porta il determinante e si rovescia passando per volume zero, la palla unitaria diventa l'ellissoide dei valori singolari, e gli autovettori sono le aste che non ruotano.
Cosa succede
Un reticolo di linee riempie lo spazio; il cubo unitario sta nell'origine con le tre facce colorate secondo gli assi; dentro, la palla unitaria come sfera di filo; tre frecce luminose sono le immagini degli assi - le colonne della matrice. La deformazione g_t = (1 − t)·I + t·A porta tutto questo dallo spazio intatto ad A e ritorno. Il reticolo si taglia, il cubo diventa il parallelepipedo il cui volume con segno È il determinante, la palla l'ellissoide i cui semiassi sono i valori singolari. Quando il determinante è negativo il cubo si è rovesciato e le sue facce si raffreddano - e non può farlo senza passare per volume zero lungo la strada, il che avviene in t* = 1/(1 − λ) per ogni autovalore negativo λ; il grafico mostra det g_t lungo la deformazione con lo zero segnato. Le aste luminose per l'origine sono gli autovettori, le rette che A manda su se stesse - calde per un autovalore positivo, fredde per uno negativo; una rotazione conserva solo il suo asse, perché gli altri due autovalori sono complessi. Ogni numero sul pannello è letto dall'immagine - il volume del cubo come prodotto misto, il raggio più lungo e più corto della palla per campionamento, il collasso scandendo la deformazione - e stampato accanto alla forma chiusa. Una rotazione extra attorno a z dopo il preset non cambia né il determinante né i valori singolari, e il pannello mostra anche questo.
Equazioni del modulo
Equazioni A è 3 × 3; det A = a₁ · (a₂ × a₃) - il volume con segno dell'immagine del cubo unitario (colonne a₁, a₂, a₃); det = 0 ↔ si perde una dimensione; det < 0 ↔ orientamento invertito metamorfosi: g_t = (1 − t)·I + t·A; det g_t = t³ · det(A + ((1 − t)/t)·I) - zero esattamente in t* = 1/(1 − λ) per ogni autovalore reale λ < 0 autovalori: A·v = λ·v; λ³ − (tr A)·λ² + (somma dei minori principali 2 × 2)·λ − det A = 0; una matrice 3 × 3 reale ha uno o tre autovalori reali; una rotazione conserva solo il proprio asse valori singolari: σ² = autovalori di A^T·A; la sfera unitaria → un ellissoide con semiassi σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃; max |A·v| = σ₁, min |A·v| = σ₃ su |v| = 1; σ₁σ₂σ₃ = |det A| rango = numero di σ > 0; una rotazione R lascia invariati det e σ: det(R·A) = det A, σ(R·A) = σ(A) preimpostazioni: stiramento diag(2, ½, 1); rotazione R_z(60°); taglio (x += y); riflessione diag(1, 1, −1); proiezione diag(1, 1, 0); rango uno u·v^T; simmetrica [[2,1,0],[1,2,0],[0,0,1]] (λ = 3, 1, 1); torsione·stiramento R_z(50°)·diag(1.6, 0.7, 1.2); stiramento negativo diag(−2, 1, ½)
