Math
Линейные преобразования
Всё пространство, деформированное матрицей: единичный куб несёт определитель и выворачивается наизнанку через нулевой объём, единичный шар становится эллипсоидом сингулярных чисел, а собственные векторы - стержни, которые не поворачиваются.
Что происходит
Решётка линий заполняет пространство; единичный куб стоит в начале координат с тремя гранями, окрашенными по осям; внутри него единичный шар проволочной сферой; три яркие стрелки - образы осей, столбцы матрицы. Морф g_t = (1 − t)·I + t·A ведёт всё это от нетронутого пространства к A и обратно. Решётка перекашивается, куб становится параллелепипедом, знаковый объём которого И ЕСТЬ определитель, шар - эллипсоидом с полуосями-сингулярными числами. Когда определитель отрицателен, куб вывернут наизнанку и его грани холодеют - а вывернуться, не пройдя по дороге через нулевой объём, он не может, и это случается при t* = 1/(1 − λ) для каждого отрицательного собственного значения λ; график показывает det g_t вдоль морфа с отмеченным нулём. Светящиеся стержни через начало - собственные векторы, прямые, которые A переводит в себя: тёплые при положительном собственном значении, холодные при отрицательном; поворот сохраняет только свою ось, потому что два других его собственных значения комплексные. Каждое число на панели снято с картинки - объём куба как смешанное произведение, самый длинный и самый короткий радиус шара выборкой, коллапс сканированием морфа - и напечатано рядом с замкнутой формой. Дополнительный поворот вокруг z после пресета не меняет ни определитель, ни сингулярные числа, и панель показывает и это.
Уравнения модуля
Уравнения A - матрица 3 × 3; det A = a₁ · (a₂ × a₃) - объём образа единичного куба со знаком (столбцы a₁, a₂, a₃); det = 0 ↔ одно измерение потеряно; det < 0 ↔ ориентация изменена морфинг: g_t = (1 − t)·I + t·A; det g_t = t³ · det(A + ((1 − t)/t)·I) - равен нулю ровно при t* = 1/(1 − λ) для каждого вещественного собственного значения λ < 0 собственные значения: A·v = λ·v; λ³ − (tr A)·λ² + (сумма главных миноров 2 × 2)·λ − det A = 0; вещественная матрица 3 × 3 имеет одно или три вещественных собственных значения; поворот сохраняет только свою ось сингулярные числа: σ² = собственные значения A^T·A; единичная сфера → эллипсоид с полуосями σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃; max |A·v| = σ₁, min |A·v| = σ₃ при |v| = 1; σ₁σ₂σ₃ = |det A| ранг = число σ > 0; поворот R не меняет det и σ: det(R·A) = det A, σ(R·A) = σ(A) готовые преобразования: растяжение diag(2, ½, 1); поворот R_z(60°); сдвиг (x += y); отражение diag(1, 1, −1); проекция diag(1, 1, 0); ранг один u·v^T; симметричная [[2,1,0],[1,2,0],[0,0,1]] (λ = 3, 1, 1); поворот с растяжением R_z(50°)·diag(1.6, 0.7, 1.2); отрицательное растяжение diag(−2, 1, ½)
