Math
Собственные векторы
Исследуйте степенной метод: повторное умножение может выстраивать векторы вдоль доминирующего собственного вектора. Сравните измеренную угловую ошибку с асимптотическим спектральным отношением и рассмотрите отношение Рэлея для симметричных матриц.
Что происходит
На каждом шаге матрица умножается на единичные векторы, после чего они снова нормируются. Для диагонализируемой матрицы с единственным наибольшим по модулю собственным значением начальный вектор с ненулевой компонентой вдоль доминирующего собственного направления приближается к этой прямой. Особый начальный вектор может не содержать такой компоненты.
Отношение |λ₂/λ₁| описывает типичную асимптотическую скорость геометрической сходимости; это не точное отношение соседних углов на каждом шаге. Отсутствие субдоминантной компоненты может ускорить сходимость, а погрешность округления со временем ограничивает измерение угла. Почти вырожденный пример сходится медленно. Дефектный сдвиг даёт алгебраическую, а не геометрическую сходимость. Поворот или доминирующая комплексная пара обычно сохраняют вращение направлений; отрицательное доминирующее собственное значение меняет знак вектора, хотя его прямая устанавливается.
Для симметричной матрицы отношение Рэлея на единичной сфере достигает экстремумов на собственных векторах наименьшего и наибольшего алгебраических собственных значений. Выберите на сфере другой начальный вектор и сравните измеренную траекторию со спектральным прогнозом.
Уравнения модуля
Уравнения A·v = λ·v v_(k+1) = A·v_k / ||A·v_k|| |λ₁| > |λ₂|, c₁ ≠ 0 ε_k = O(|λ₂/λ₁|^k) R(v) = (v·A·v)/(v·v) A = Aᵀ ⇒ λ_min ≤ R(v) ≤ λ_max tr A = Σλ, det A = Πλ
