Math
Власні вектори
Досліджуйте степеневу ітерацію: повторне множення може вирівняти вектори з домінуючим власним вектором. Порівняти виміряну кутову похибку з асимптотичним спектральним співвідношенням і перевірити коефіцієнт Рейлі для симетричних матриць.
Що відбувається
Кожен крок множить одиничні вектори на матрицю і знову нормалізує їх. Для діагоналізованої матриці з одним власним значенням, строго найбільшим за модулем, початковий вектор з ненульовою складовою вздовж її домінантного власного напрямку наближається до цієї лінії. Спеціально обраний початковий вектор може пропустити домінуючий напрямок.
Відношення |λ₂/λ₁| описує загальну асимптотичну геометричну швидкість; це не точне співвідношення послідовних кутів на кожному кроці. Відсутність субдомінантної компоненти може зробити конвергенцію швидшою, в той час як числове округлення зрештою обмежує вимірюваний кут. Майже вироджений набір збігається повільно. Дефектне стиснення має алгебраїчну, а не геометричну конвергенцію. Пара обертання або домінуючої комплексної пари зазвичай зберігає напрямки обертання; від’ ємне домінуюче власне значення перевертає знак вектора, коли його лінія розташовується.
Для симетричної матриці, коефіцієнт Рейлі на одиничній сфері має екстремуми на власних векторах найменших і найбільших алгебраїчних власних значень. Клацніть на сфері, щоб вибрати інший початковий вектор і порівняти виміряну траєкторію зі спектральним прогнозом.
Рівняння модуля
Рівняння A·v = λ·v v_(k+1) = A·v_k / ||A·v_k|| |λ₁| > |λ₂|, c₁ ≠ 0 ε_k = O(|λ₂/λ₁|^k) R(v) = (v·A·v)/(v·v) A = Aᵀ ⇒ λ_min ≤ R(v) ≤ λ_max tr A = Σλ, det A = Πλ
