Math
Vecteurs propres
Explorez l'itération de puissance : la multiplication répétée peut aligner des vecteurs avec un vecteur propre dominant. Comparez l'erreur angulaire mesurée avec le rapport spectral asymptotique et examinez le quotient de Rayleigh pour les matrices symétriques.
Ce qui se passe
Chaque étape multiplie les vecteurs unitaires par la matrice et les normalise à nouveau. Pour une matrice diagonalisable avec une valeur propre strictement la plus grande en module, un vecteur initial avec une composante non nulle le long de sa direction propre dominante approche cette droite. Un vecteur initial spécialement choisi peut manquer la direction dominante.
Le rapport |λ₂/λ₁| décrit le taux géométrique asymptotique générique; Ce n'est pas un rapport exact d'angles successifs à chaque étape. L'absence d'une composante sous-dominant peut rendre la convergence plus rapide, tandis que l'arrondissement numérique finit par limiter l'angle mesuré. Le preset presque dégénéré converge lentement. Le cisaillement défectueux a une convergence algébrique plutôt que géométrique. Une rotation ou une paire complexe dominante maintient généralement les directions tournantes; Une valeur propre dominante négative inverse le signe du vecteur pendant que sa droite se stabilise.
Pour une matrice symétrique, le quotient de Rayleigh sur la sphère unitaire a des extrêmes aux vecteurs propres des plus petites et des plus grandes valeurs propres algébriques. Cliquez sur la sphère pour choisir un autre vecteur initial et comparer la trajectoire mesurée avec la prédiction spectrale.
Équations du module
Équations A·v = λ·v v_(k+1) = A·v_k / ||A·v_k|| |λ₁| > |λ₂|, c₁ ≠ 0 ε_k = O(|λ₂/λ₁|^k) R(v) = (v·A·v)/(v·v) A = Aᵀ ⇒ λ_min ≤ R(v) ≤ λ_max tr A = Σλ, det A = Πλ
