Math
Vectores propios
Explora la iteración de potencia: la multiplicación repetida puede alinear vectores con un autovector dominante. Compare el error angular medido con la relación espectral asintótica, e inspeccione el cociente de Rayleigh para matrices simétricas.
Qué ocurre
Cada paso multiplica los vectores unitarios por la matriz y los normaliza de nuevo. Para una matriz diagonalizable con un valor propio estrictamente mayor en módulo, un vector inicial con un componente no cero a lo largo de su dirección propia dominante se aproxima a esa línea. Un vector inicial especialmente elegido puede perder la dirección dominante.
La relación |λ₂/λ₁| describe la tasa geométrica asintótica genérica; No es una relación exacta de ángulos sucesivos en cada paso. La falta de un componente subdominante puede hacer que la convergencia sea más rápida, mientras que el redondeo numérico eventualmente limita el ángulo medido. El preset casi degenerado converge lentamente. El cizallamiento defectuoso tiene convergencia algebraica en lugar de geométrica. Un par complejo de rotación o dominante generalmente mantiene las direcciones girando; Un autovalor dominante negativo invierte el signo vectorial mientras su línea se asienta.
Para una matriz simétrica, el cociente de Rayleigh en la esfera unidad tiene extremos en los autovectores de los valores propios algebraicos más pequeños y mayores. Haga clic en la esfera para elegir un vector inicial diferente y compare la trayectoria medida con la predicción espectral.
Ecuaciones del módulo
Ecuaciones A·v = λ·v v_(k+1) = A·v_k / ||A·v_k|| |λ₁| > |λ₂|, c₁ ≠ 0 ε_k = O(|λ₂/λ₁|^k) R(v) = (v·A·v)/(v·v) A = Aᵀ ⇒ λ_min ≤ R(v) ≤ λ_max tr A = Σλ, det A = Πλ
