Math
Eigenvektoren
Erkunden Sie Potenz-Iteration: Wiederholte Multiplikation kann Vektoren mit einem dominanten Eigenvektor ausrichten. Vergleichen Sie den gemessenen Winkelfehler mit dem asymptotischen Spektralverhältnis und untersuchen Sie den Rayleigh-Quoten für symmetrische Matrizen.
Was passiert
Jeder Schritt multipliziert die Einheitsvektoren mit der Matrix und normalisiert sie wieder. Für eine diagonalisierbare Matrix mit einem streng größten Eigenwert im Modul nähert sich ein Anfangsvektor mit einer ungleichen Komponente entlang ihrer dominanten Eigenrichtung dieser Geraden. Ein speziell gewählter Anfangsvektor kann die dominante Richtung verfehlen.
Das Verhältnis |λ₂/λ₁| beschreibt die generische asymptotische geometrische Rate; Es ist nicht ein genaues Verhältnis von aufeinanderfolgenden Winkeln bei jedem Schritt. Das Fehlen einer subdominanten Komponente kann die Konvergenz beschleunigen, während numerische Rundungen schließlich den gemessenen Winkel einschränken. Das fast entartete Preset konvergiert langsam. Die defekte Scherung hat eher algebraische als geometrische Konvergenz. Ein Rotations- oder dominantes komplexes Paar hält im Allgemeinen die Richtungen drehend; Ein negativer dominanter Eigenwert spiegelt das Vektorzeichen um, während seine Linie sich absetzt.
Für eine symmetrische Matrix hat der Rayleigh-Quant auf der Einheitssphäre Extreme an Eigenvektoren der kleinsten und größten algebraischen Eigenwerte. Klicken Sie auf die Kugel, um einen anderen Anfangsvektor auszuwählen und den gemessenen Weg mit der spektralen Vorhersage zu vergleichen.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen A·v = λ·v v_(k+1) = A·v_k / ||A·v_k|| |λ₁| > |λ₂|, c₁ ≠ 0 ε_k = O(|λ₂/λ₁|^k) R(v) = (v·A·v)/(v·v) A = Aᵀ ⇒ λ_min ≤ R(v) ≤ λ_max tr A = Σλ, det A = Πλ
