Math
Mucchio di sabbia
Quattro granelli si rovesciano sui vicini - e da una sola regola escono valanghe di ogni dimensione, uno stato critico e un frattale che nessuno ha disegnato; l'identità del gruppo del mucchio di sabbia si rovescia sotto i tuoi occhi.
Cosa succede
Un quadrato di celle sul pavimento, ognuna colorata secondo quanti granelli contiene: notte per nessuno, blu mare per uno, ambra per due, crema per tre. La regola è l'unica regola: una cella con quattro granelli o più ne dà uno a ciascuno dei quattro vicini, e i granelli caduti oltre il bordo sono persi. Una cella che si rovescia in questo istante lampeggia. La prima scena fa cadere granelli su UNA cella, a lotti che raddoppiano - 1, 1, 2, 4 … fino a 65 536 - e il mucchio si allarga nel frattale circolare: quattro volte i granelli, raggio doppio, e tutte le simmetrie del quadrato. L'ordine dei rovesciamenti non conta (il modello è abeliano), perciò l'animazione, che rovescia tutto insieme in passate parallele, finisce esattamente sul mucchio che i granelli darebbero uno alla volta. La seconda scena fa piovere granelli su celle a caso: finché il mucchio è basso le valanghe sono minuscole, e quando l'altezza media arriva a circa 2.1 vengono di ogni dimensione - il grafico riporta quante valanghe di ogni dimensione in assi log-log e i punti cadono su una retta, una legge di potenza senza dimensione tipica. La terza scena rovescia l'identità del gruppo del mucchio di sabbia in due fasi: sei granelli su ogni cella rovesciati, poi ciò che è rimasto rovesciato di nuovo; il risultato è e, e il pulsante somma e a sé stesso e rovescia - torna cella per cella. Un clic sul pavimento fa cadere granelli ovunque; il tasto destro ruota.
Equazioni del modulo
Equazioni regola: h_i ≥ 4 → h_i − 4, h_j → h_j + 1 per i quattro vicini j; i granelli che escono dalla griglia sono persi (il bordo è il pozzo); q = floor(h_i / 4) crolli simultanei danno lo stesso mucchio di q crolli uno alla volta abeliano: il mucchio stabile raggiunto a partire da una configurazione non dipende dall'ordine dei crolli, e nemmeno ne dipende il numero di crolli - perciò i passaggi paralleli dell'animazione terminano proprio sul mucchio esatto mucchio da un punto: 2^k granelli al centro - crolli 1220 / 20384 / 312768, raggio 6.32 / 12.81 / 25.00 celle, occupate 116 / 476 / 1752 per k = 8 / 10 / 12; r ∝ √n, altezza media all'interno ≈ 2.04 … 2.16; tutte le otto simmetrie del quadrato pioggia: granelli su celle casuali; l'altezza media sale fino a ⟨h⟩ ≈ 2.1 (2.125 in letteratura) e vi resta; P(s) ∝ s^−τ per la dimensione s della valanga (crolli), pendenza misurata −1.08 della densità log-log su 65 × 65 dopo 30 000 granelli gruppo: i mucchi stabili che ricorrono sotto la pioggia formano un gruppo abeliano rispetto a "somma e crolla"; identità e = (2δ − (2δ)°)° con δ il mucchio tutto-3 e ° la stabilizzazione; e + c = c per ogni c ricorrente, e + e = e; test di bruciatura di Dhar: c è ricorrente esattamente quando, aggiungendo un granello per ogni vicino mancante (la quota dei pozzi) e facendo crollare, si riottiene c identità: 1 × 1: 0; 2 × 2: tutte 2; 3 × 3: 2 1 2 / 1 0 1 / 2 1 2; 15 × 15: 448 granelli, 17 / 32 / 112 / 64 celle con 0 / 1 / 2 / 3
