Math
Песочная куча
Четыре зерна рассыпаются соседям — и из одного правила выходят лавины любого размера, критическое состояние и фрактал, которого никто не рисовал; тождественный элемент группы песочной кучи рассыпается у тебя на глазах.
Что происходит
Квадрат клеток на полу, каждая окрашена по числу зёрен в ней: ночь — ни одного, морская синь — одно, янтарь — два, кремовый — три. Правило одно: клетка, в которой четыре зерна и больше, отдаёт по зерну каждому из четырёх соседей, а зёрна, упавшие за край, пропадают. Клетка, рассыпающаяся прямо сейчас, вспыхивает. Первая сцена сыплет зёрна на ОДНУ клетку порциями, которые удваиваются — 1, 1, 2, 4 … до 65 536 — и куча расползается в круглый фрактал: вчетверо больше зёрен — вдвое больше радиус, и все симметрии квадрата. Порядок рассыпания не важен (модель абелева), поэтому анимация, которая рассыпает всё разом параллельными проходами, заканчивается ровно той кучей, какую зёрна дали бы по одному. Вторая сцена сыплет зёрна дождём на случайные клетки: пока куча низкая, лавины крошечные, а когда средняя высота доходит примерно до 2.1, они идут любого размера — график откладывает число лавин каждого размера в логарифмических осях, и точки ложатся на прямую: степенной закон без характерного размера. Третья сцена рассыпает тождественный элемент группы песочной кучи в две фазы: по шесть зёрен на каждую клетку рассыпаются до устойчивой кучи, затем остаток рассыпается ещё раз; результат — e, а кнопка прибавляет e к самому себе и рассыпает — он возвращается клетка в клетку. Клик по полу сыплет зёрна куда угодно; правая кнопка вращает.
Уравнения модуля
Уравнения правило: h_i ≥ 4 → h_i − 4, h_j → h_j + 1 для четырёх соседей j; песчинки, покинувшие сетку, теряются (край - сток); q = floor(h_i / 4) обрушений сразу дают ту же кучу, что и q обрушений по очереди абелевость: устойчивая куча, полученная из конфигурации, не зависит от порядка обрушений, как и число обрушений - поэтому параллельные проходы анимации заканчиваются именно на этой куче куча из одной точки: 2^k песчинок в центре - обрушений 1220 / 20384 / 312768, радиус 6.32 / 12.81 / 25.00 клеток, занято 116 / 476 / 1752 при k = 8 / 10 / 12; r ∝ √n, средняя высота внутри ≈ 2.04 … 2.16; все восемь симметрий квадрата дождь: песчинки на случайных клетках; средняя высота растёт до ⟨h⟩ ≈ 2.1 (2.125 в литературе) и остаётся там; P(s) ∝ s^−τ для размера лавины s (число обрушений), измеренный наклон −1.08 плотности в координатах log-log на 65 × 65 после 30 000 песчинок группа: устойчивые кучи, которые повторяются под дождём, образуют абелеву группу относительно "сложить и рассыпать"; единица e = (2δ − (2δ)°)° где δ - куча "все-3", а ° - стабилизация; e + c = c для каждой рекуррентной c, e + e = e; тест сжигания Дхара: c рекуррентна в точности тогда, когда добавление одной песчинки на каждого недостающего соседа (вклад стоков) и рассыпание возвращает c нейтральные элементы: 1 × 1: 0; 2 × 2: везде 2; 3 × 3: 2 1 2 / 1 0 1 / 2 1 2; 15 × 15: 448 песчинок, 17 / 32 / 112 / 64 клеток с 0 / 1 / 2 / 3
