Math
Pila de arena
Cuatro granos se derraman a los vecinos - y de una sola regla salen avalanchas de todos los tamaños, un estado crítico y un fractal que nadie dibujó; la identidad del grupo de la pila de arena se derrama ante tus ojos.
Qué ocurre
Un cuadrado de celdas en el suelo, cada una pintada según cuántos granos contiene: noche para ninguno, azul mar para uno, ámbar para dos, crema para tres. La regla es la única regla: una celda con cuatro granos o más da uno a cada uno de sus cuatro vecinos, y los granos que caen por el borde se pierden. Una celda que se derrama ahora mismo destella. La primera escena deja caer granos sobre UNA celda, en tandas que se duplican - 1, 1, 2, 4 … hasta 65 536 - y la pila se extiende en el fractal circular: cuatro veces más granos, el doble de radio, y todas las simetrías del cuadrado. El orden del derrame no importa (el modelo es abeliano), así que la animación, que derrama todo a la vez en barridos paralelos, termina exactamente en la pila que darían los granos uno a uno. La segunda escena hace llover granos sobre celdas al azar: mientras la pila es baja las avalanchas son minúsculas, y cuando la altura media llega a unos 2.1 vienen de todos los tamaños - la gráfica traza cuántas avalanchas de cada tamaño en ejes log-log y los puntos caen sobre una recta, una ley de potencias sin tamaño típico. La tercera escena derrama la identidad del grupo de la pila de arena en dos fases: seis granos en cada celda derramados, luego lo que sobró derramado otra vez; el resultado es e, y el botón suma e a sí mismo y derrama - vuelve celda por celda. Un clic en el suelo deja caer granos donde quieras; el botón derecho orbita.
Ecuaciones del módulo
Ecuaciones regla: h_i ≥ 4 → h_i − 4, h_j → h_j + 1 para los cuatro vecinos j; los granos que salen de la cuadrícula se pierden (el borde es el sumidero); q = floor(h_i / 4) derrumbes a la vez dan la misma pila que q uno tras otro abeliano: la pila estable a la que se llega desde una configuración no depende del orden de los derrumbes, ni tampoco el número de derrumbes - así que los barridos en paralelo de la animación terminan en la pila exacta pila a partir de un punto: 2^k granos en el centro - derrumbes 1220 / 20384 / 312768, radio 6.32 / 12.81 / 25.00 celdas, ocupadas 116 / 476 / 1752 para k = 8 / 10 / 12; r ∝ √n, altura media en el interior ≈ 2.04 … 2.16; las ocho simetrías del cuadrado lluvia: granos sobre celdas aleatorias; la altura media sube hasta ⟨h⟩ ≈ 2.1 (2.125 en la literatura) y se mantiene; P(s) ∝ s^−τ para el tamaño de avalancha s (derrumbes), pendiente medida −1.08 de la densidad log-log sobre 65 × 65 tras 30 000 granos grupo: las pilas estables que reaparecen bajo la lluvia forman un grupo abeliano con "sumar y derramar"; identidad e = (2δ − (2δ)°)° con δ la pila todo-3 y ° la estabilización; e + c = c para toda c recurrente, e + e = e; prueba de quemado de Dhar: c es recurrente exactamente cuando añadir un grano por cada vecino que falta (la parte de los sumideros) y derramar devuelve c identidades: 1 × 1: 0; 2 × 2: todo 2; 3 × 3: 2 1 2 / 1 0 1 / 2 1 2; 15 × 15: 448 granos, 17 / 32 / 112 / 64 celdas con 0 / 1 / 2 / 3
