Math
Tas de sable
Quatre grains se déversent sur les voisins - et d'une seule règle sortent des avalanches de toutes les tailles, un état critique et une fractale que personne n'a dessinée ; l'identité du groupe du tas de sable se déverse sous tes yeux.
Ce qui se passe
Un carré de cases au sol, chacune peinte selon le nombre de grains qu'elle porte : nuit pour aucun, bleu mer pour un, ambre pour deux, crème pour trois. La règle est la seule règle : une case qui porte quatre grains ou plus en donne un à chacune de ses quatre voisines, et les grains tombés du bord sont perdus. Une case qui se déverse à l'instant s'embrase. La première scène laisse tomber des grains sur UNE case, par lots qui doublent - 1, 1, 2, 4 … jusqu'à 65 536 - et le tas s'étale en fractale circulaire : quatre fois plus de grains, rayon doublé, et toutes les symétries du carré. L'ordre des déversements est indifférent (le modèle est abélien), donc l'animation, qui déverse tout à la fois par balayages parallèles, finit exactement sur le tas que donneraient les grains un à un. La deuxième scène fait pleuvoir des grains sur des cases au hasard : tant que le tas est bas, les avalanches sont minuscules, et dès que la hauteur moyenne atteint environ 2.1 elles viennent de toutes les tailles - le graphique porte le nombre d'avalanches de chaque taille en axes log-log et les points s'alignent sur une droite, une loi de puissance sans taille typique. La troisième scène déverse l'identité du groupe du tas de sable en deux phases : six grains sur chaque case déversés, puis le reste déversé encore ; le résultat est e, et le bouton ajoute e à lui-même et déverse - il revient case par case. Un clic au sol laisse tomber des grains n'importe où ; le bouton droit fait tourner.
Équations du module
Équations règle : h_i ≥ 4 → h_i − 4, h_j → h_j + 1 pour les quatre voisins j ; les grains qui sortent de la grille sont perdus (le bord est le puits) ; q = floor(h_i / 4) éboulements simultanés donnent le même tas que q éboulements successifs abélien : le tas stable atteint à partir d'une configuration ne dépend pas de l'ordre des éboulements, et le nombre d'éboulements non plus - c'est pourquoi les balayages parallèles de l'animation aboutissent au tas exact tas issu d'un seul point : 2^k grains au centre - éboulements 1220 / 20384 / 312768, rayon 6.32 / 12.81 / 25.00 cellules, cellules occupées 116 / 476 / 1752 pour k = 8 / 10 / 12 ; r ∝ √n, hauteur moyenne à l'intérieur ≈ 2.04 … 2.16 ; les huit symétries du carré pluie : des grains sur des cellules aléatoires ; la hauteur moyenne monte jusqu'à ⟨h⟩ ≈ 2.1 (2.125 dans la littérature) et s'y maintient ; P(s) ∝ s^−τ pour la taille s de l'avalanche (en éboulements), pente mesurée −1.08 de la densité log-log sur 65 × 65 après 30 000 grains groupe : les tas stables qui reviennent sous la pluie forment un groupe abélien pour l'opération "ajouter et déverser" ; élément neutre e = (2δ − (2δ)°)° avec δ le tas tout-3 et ° la stabilisation ; e + c = c pour tout tas récurrent c, e + e = e ; test de combustion de Dhar : c est récurrent exactement lorsque l'ajout d'un grain par voisin manquant (la part des puits) suivi de l'éboulement redonne c éléments neutres : 1 × 1 : 0 ; 2 × 2 : toutes à 2 ; 3 × 3 : 2 1 2 / 1 0 1 / 2 1 2 ; 15 × 15 : 448 grains, 17 / 32 / 112 / 64 cellules avec 0 / 1 / 2 / 3
