Math
Sandhaufen
Vier Körner kippen zu den Nachbarn - und aus einer Regel kommen Lawinen jeder Größe, ein kritischer Zustand und ein Fraktal, das niemand gezeichnet hat; das neutrale Element der Sandhaufen-Gruppe wird vor deinen Augen ausgeschüttet.
Was passiert
Ein Quadrat aus Zellen auf dem Boden, jede gefärbt nach der Zahl ihrer Körner: Nacht für keins, Meerblau für eins, Bernstein für zwei, Creme für drei. Die Regel ist die einzige Regel: eine Zelle mit vier oder mehr Körnern gibt jedem ihrer vier Nachbarn eins, und Körner, die über den Rand fallen, sind weg. Eine Zelle, die gerade kippt, leuchtet auf. Die erste Szene lässt Körner auf EINE Zelle fallen, in Portionen, die sich verdoppeln - 1, 1, 2, 4 … bis 65 536 - und der Haufen breitet sich zum runden Fraktal aus: viermal so viele Körner, doppelter Radius, und jede Symmetrie des Quadrats. Die Reihenfolge des Kippens ist gleichgültig (das Modell ist abelsch), darum endet die Animation, die alles zugleich in parallelen Durchgängen kippt, genau auf dem Haufen, den die Körner einzeln ergäben. Die zweite Szene regnet Körner auf zufällige Zellen: solange der Haufen flach ist, sind die Lawinen winzig, und sobald die mittlere Höhe etwa 2.1 erreicht, kommen sie in jeder Größe - das Diagramm trägt die Zahl der Lawinen jeder Größe doppelt-logarithmisch auf, und die Punkte liegen auf einer Geraden: ein Potenzgesetz ohne typische Größe. Die dritte Szene schüttet das neutrale Element der Sandhaufen-Gruppe in zwei Phasen aus: sechs Körner auf jeder Zelle werden abgekippt, dann wird der Rest noch einmal abgekippt; das Ergebnis ist e, und der Knopf addiert e zu sich selbst und kippt - es kommt Zelle für Zelle zurück. Ein Klick auf den Boden lässt überall Körner fallen; die rechte Maustaste dreht.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen Regel: h_i ≥ 4 → h_i − 4, h_j → h_j + 1 für die vier Nachbarn j; Körner, die das Gitter verlassen, gehen verloren (der Rand ist die Senke); q = floor(h_i / 4) Kippvorgänge auf einmal ergeben denselben Haufen wie q nacheinander abelsch: der stabile Haufen, der von einer Konfiguration aus erreicht wird, hängt nicht von der Reihenfolge des Kippens ab, und die Zahl der Kippvorgänge ebenso wenig; deshalb enden die parallelen Durchläufe der Animation beim exakten Haufen Haufen aus einem Punkt: 2^k Körner im Zentrum - Kippvorgänge 1220 / 20384 / 312768, Radius 6.32 / 12.81 / 25.00 Zellen, besetzt 116 / 476 / 1752 für k = 8 / 10 / 12; r ∝ √n, mittlere Höhe innen ≈ 2.04 … 2.16; alle acht Symmetrien des Quadrats Regen: Körner auf zufälligen Zellen; die mittlere Höhe steigt auf ⟨h⟩ ≈ 2.1 (2.125 in der Literatur) und bleibt dort; P(s) ∝ s^−τ für die Lawinengröße s (Kippvorgänge), gemessene Steigung −1.08 der log-log-Dichte auf 65 × 65 nach 30 000 Körnern Gruppe: stabile Haufen, die unter dem Regen wiederkehren, bilden eine abelsche Gruppe unter "addieren und kippen"; neutrales Element e = (2δ − (2δ)°)° mit δ dem Überall-3-Haufen und ° der Stabilisierung; e + c = c für jedes rekurrente c, e + e = e; Dhars Brenntest: c ist genau dann rekurrent, wenn das Hinzufügen je eines Korns pro fehlendem Nachbarn (der Anteil der Senken) und das Kippen wieder c ergibt neutrale Elemente: 1 × 1: 0; 2 × 2: alle 2; 3 × 3: 2 1 2 / 1 0 1 / 2 1 2; 15 × 15: 448 Körner, 17 / 32 / 112 / 64 Zellen mit 0 / 1 / 2 / 3
