Math
Kopiec piasku
Cztery ziarna zsypują się do sąsiadów - a z jednej reguły wychodzą lawiny każdej wielkości, stan krytyczny i fraktal, którego nikt nie narysował; element neutralny grupy kopca piasku zsypuje się na twoich oczach.
Co się dzieje
Kwadrat komórek na podłodze, każda pomalowana według liczby ziaren: noc dla żadnego, morski błękit dla jednego, bursztyn dla dwóch, krem dla trzech. Reguła jest jedyną regułą: komórka z czterema ziarnami lub więcej oddaje po jednym każdemu z czterech sąsiadów, a ziarna, które spadną za krawędź, przepadają. Komórka, która właśnie się zsypuje, rozbłyska. Pierwsza scena sypie ziarna na JEDNĄ komórkę porcjami, które się podwajają - 1, 1, 2, 4 … do 65 536 - a kopiec rozlewa się w kolisty fraktal: cztery razy więcej ziaren, dwa razy większy promień, i wszystkie symetrie kwadratu. Kolejność zsypywania nie ma znaczenia (model jest abelowy), więc animacja, która zsypuje wszystko naraz równoległymi przebiegami, kończy dokładnie na tym kopcu, jaki dałyby ziarna po jednym. Druga scena sypie ziarna deszczem na losowe komórki: póki kopiec jest niski, lawiny są maleńkie, a gdy średnia wysokość dochodzi do około 2.1, idą w każdej wielkości - wykres nanosi liczbę lawin każdej wielkości w osiach log-log, a punkty układają się na prostej: prawo potęgowe bez typowej wielkości. Trzecia scena zsypuje element neutralny grupy kopca piasku w dwóch fazach: po sześć ziaren na każdej komórce zsypanych do stabilnego kopca, potem reszta zsypana raz jeszcze; wynik to e, a przycisk dodaje e do siebie samego i zsypuje - wraca komórka po komórce. Kliknięcie w podłogę sypie ziarna gdziekolwiek; prawy przycisk obraca.
Równania modułu
Równania reguła: h_i ≥ 4 → h_i − 4, h_j → h_j + 1 dla czterech sąsiadów j; ziarna opuszczające siatkę giną (brzeg jest ujściem); q = floor(h_i / 4) przesypań naraz daje ten sam kopiec, co q kolejnych przesypań abelowość: stabilny kopiec osiągnięty z danej konfiguracji nie zależy od kolejności przesypań, podobnie jak liczba przesypań - dlatego równoległe przebiegi animacji kończą się dokładnie na tym samym kopcu kopiec z jednego punktu: 2^k ziaren w środku - przesypań 1220 / 20384 / 312768, promień 6.32 / 12.81 / 25.00 komórek, zajętych 116 / 476 / 1752 dla k = 8 / 10 / 12; r ∝ √n, średnia wysokość wewnątrz ≈ 2.04 … 2.16; wszystkie osiem symetrii kwadratu deszcz: ziarna na losowych komórkach; średnia wysokość rośnie do ⟨h⟩ ≈ 2.1 (2.125 w literaturze) i tam zostaje; P(s) ∝ s^−τ dla rozmiaru lawiny s (liczby przesypań), zmierzone nachylenie −1.08 gęstości w skali log-log na 65 × 65 po 30 000 ziarnach grupa: stabilne kopce, które powtarzają się pod deszczem, tworzą grupę abelową z działaniem "dodaj i przesyp"; element neutralny e = (2δ − (2δ)°)° gdzie δ to kopiec same-3, a ° oznacza stabilizację; e + c = c dla każdego rekurentnego c, e + e = e; test spalania Dhara: c jest rekurentny dokładnie wtedy, gdy dodanie jednego ziarna na brakującego sąsiada (udział ujść) i przesypanie daje z powrotem c elementy neutralne: 1 × 1: 0; 2 × 2: wszystkie 2; 3 × 3: 2 1 2 / 1 0 1 / 2 1 2; 15 × 15: 448 ziaren, 17 / 32 / 112 / 64 komórek z wartościami 0 / 1 / 2 / 3
