Math
Піщана купа
Чотири зернини розсипаються сусідам — і з одного правила виходять лавини будь-якого розміру, критичний стан і фрактал, якого ніхто не малював; тотожний елемент групи піщаної купи розсипається на твоїх очах.
Що відбувається
Квадрат клітинок на підлозі, кожна пофарбована за числом зернин у ній: ніч — жодної, морська синь — одна, бурштин — дві, кремовий — три. Правило одне: клітинка, в якій чотири зернини і більше, віддає по зернині кожному з чотирьох сусідів, а зернини, що впали за край, зникають. Клітинка, що розсипається просто зараз, спалахує. Перша сцена сипле зернини на ОДНУ клітинку порціями, які подвоюються — 1, 1, 2, 4 … до 65 536 — і купа розповзається в круглий фрактал: учетверо більше зернин — удвічі більший радіус, і всі симетрії квадрата. Порядок розсипання не важливий (модель абелева), тому анімація, що розсипає все разом паралельними проходами, закінчується саме тією купою, яку зернини дали б по одній. Друга сцена сипле зернини дощем на випадкові клітинки: поки купа низька, лавини крихітні, а коли середня висота сягає приблизно 2.1, вони йдуть будь-якого розміру — графік відкладає число лавин кожного розміру в логарифмічних осях, і точки лягають на пряму: степеневий закон без характерного розміру. Третя сцена розсипає тотожний елемент групи піщаної купи у дві фази: по шість зернин на кожну клітинку розсипаються до стійкої купи, потім залишок розсипається ще раз; результат — e, а кнопка додає e до самого себе і розсипає — він повертається клітинка в клітинку. Клік по підлозі сипле зернини куди завгодно; права кнопка обертає.
Рівняння модуля
Рівняння правило: h_i ≥ 4 → h_i − 4, h_j → h_j + 1 для чотирьох сусідів j; зерна, що виходять за межі сітки, втрачаються (край - це стік); q = floor(h_i / 4) обвалень, виконаних одразу, дають ту саму купу, що й q обвалень по черзі абелевість: стійка купа, до якої веде конфігурація, не залежить від порядку обвалень, як і кількість обвалень - тому паралельні проходи анімації закінчуються рівно на тій самій купі купа з однієї точки: 2^k зерен у центрі - обвалень 1220 / 20384 / 312768, радіус 6.32 / 12.81 / 25.00 клітинок, зайнято 116 / 476 / 1752 при k = 8 / 10 / 12; r ∝ √n, середня висота всередині ≈ 2.04 … 2.16; усі вісім симетрій квадрата дощ: зерна на випадкових клітинках; середня висота зростає до ⟨h⟩ ≈ 2.1 (2.125 у літературі) і далі не змінюється; P(s) ∝ s^−τ для розміру лавини s (кількість обвалень), виміряний нахил −1.08 густини в масштабі log-log на 65 × 65 після 30 000 зерен група: стійкі купи, що повторюються під дощем, утворюють абелеву групу відносно "додати й обвалити"; нейтральний елемент e = (2δ − (2δ)°)° де δ - купа "усі-3", а ° - стабілізація; e + c = c для кожної рекурентної c, e + e = e; тест спалювання Дхара: c рекурентна рівно тоді, коли додавання одного зерна на кожного відсутнього сусіда (частка стоків) і обвалення повертають c нейтральні елементи: 1 × 1: 0; 2 × 2: усі 2; 3 × 3: 2 1 2 / 1 0 1 / 2 1 2; 15 × 15: 448 зерен, 17 / 32 / 112 / 64 клітинок із 0 / 1 / 2 / 3 зернами
