Engineering
Vite senza fine e reversibilità
Solleva un carico con una vite senza fine e la sua ruota, poi ferma il motore e riduci l’attrito finché il carico non fa girare la vite all’indietro. Confronta uno, due e quattro principi: il rendimento nei due sensi e il freno necessario per trattenere il carico.
Cosa succede
Un motore fa girare una vite senza fine di raggio primitivo 0,2 m sotto una ruota di 30 denti; un tamburo sull’albero della ruota avvolge la fune del carico. Il filetto della vite striscia di traverso sui denti della ruota lungo un fianco inclinato dell’angolo d’elica λ, tan λ = z₁m/(2r₁): 5,7° con un principio, 11,3° con due, 21,8° con quattro. L’attrito sul fianco aggiunge l’angolo d’attrito φ = atan μ. Quando la vite è motrice, le serve la coppia F·r₁·tan(λ + φ), dove F è la forza del carico riportata alla circonferenza primitiva della ruota, e solo la frazione tan λ/tan(λ + φ) del lavoro della vite arriva al carico: 45 % con un principio e μ = 0,12, 73 % con quattro. Spegni il motore: finché λ < φ, l’ingranaggio si blocca da solo e il carico resta fermo. Con due principi e μ = 0,12 il carico fa girare la vite all’indietro e scende; un freno sulla vite lo trattiene solo a partire da una coppia di F·r₁·tan(λ − φ). Riduci μ: sotto μ = tan λ = 0,1 anche la vite a un principio lascia andare il carico.
Modello: vite, ruota, tamburo e carico rigidi; l’ingranamento è un unico contatto di fianco nel punto primitivo con attrito di Coulomb aderente o strisciante, la fune un vincolo rigido al tamburo. Niente attrito nei cuscinetti, elasticità dei denti, lubrificazione o usura; μ non dipende dalla velocità.
Da provare
Solleva il carico con la vite a un principio e spegni il motore: il carico resta fermo. Scegli due principi e ripeti: il carico torna indietro finché il freno non lo trattiene.
Equazioni del modulo
Equazioni tan λ = z₁m/(2r₁), φ = atan μ T₁ = F r₁ tan(λ + φ), η = tan λ / tan(λ + φ) T₁′ = F r₁ tan(λ − φ), η′ = tan(λ − φ) / tan λ λ ≤ φ ⇒ T₁′ ≤ 0
