Math
Минимальные поверхности
Катеноид, геликоид, Эннепер, Шерк, Шварц P и гироид: формы, в которые ложится мыльная плёнка.
Что происходит
Мыльная плёнка стягивается, сколько может, и форма, в которую она ложится, имеет нулевую среднюю кривизну в каждой точке: изогнута в одну сторону ровно настолько же, насколько в другую. Четыре поверхности здесь - из данных Вейерштрасса, и поворот угла Бонне θ проводит каждую через её присоединённое семейство без единого растяжения: катеноид сворачивается в геликоид при θ = π/2, и все расстояния на плёнке остаются прежними, а панель измеряет H в точке поверхности вживую - и оно стоит на нуле. Цвет - гауссова кривизна: голубой там, где плёнка почти плоская, пурпурный там, где седло круче всего. Шварц P и гироид вырезаны из своих поверхностей уровня марширующими тетраэдрами; это учебниковые приближения, и панель печатает, насколько они промахиваются мимо H = 0.
Уравнения модуля
Уравнения H = (κ₁ + κ₂)/2 = 0 (минимальная поверхность: средняя кривизна везде равна нулю) X(ζ) = Re( e^(iθ) ∫ ( f(1 − g²)/2, i f(1 + g²)/2, f g ) dζ ) (Weierstrass–Enneper) катеноид → геликоид: θ от 0 до π/2, при неизменных E, F, G (Бонне, изометрия) Enneper: x = Re(ζ − ζ³/3), y = Re(i(ζ + ζ³/3)), z = Re(ζ²) поверхность Шерка: z = ln(cos y / cos x); гироид ≈ sin x cos y + sin y cos z + sin z cos x = 0
