Math
Лента Мёбиуса
Одна сторона, один край и муравей, который возвращается отражённым: он красит ленту, идя по середине, и после одного круга по ленте Мёбиуса красит то, что казалось другой стороной.
Что происходит
Лента с k полуоборотами висит в пространстве; k = 1 - лента Мёбиуса. Она нарисована двумя оболочками на волос друг от друга, по одной с каждой стороны поверхности, чтобы две стороны можно было красить по-разному, - и плоский муравей идёт по середине с кистью, крася оболочку, на которой стоит. На ленте Мёбиуса после одного круга муравей уже на другой оболочке, не покидая поверхности, а после двух кругов покрашены обе: «две» стороны были одной. На ленте с чётным числом полуоборотов вторая оболочка остаётся голой навсегда. Муравей несёт стрелку вперёд, стрелку влево и стрелку вверх; после круга по нечётной ленте «вперёд» то же, а «влево» смотрит в другую сторону - его отразили, и панель печатает определитель его репера, −1. Край светится как собственная кривая: одна кривая в два круга при нечётном k, две при чётном, и по нему бежит огонёк. Панель считает стороны и края по сетке ленты, а не по k: пытается согласованно ориентировать каждую заплатку (это не удаётся ровно тогда, когда поверхность односторонняя) и соединяет краевые рёбра в кривые. Разрез по середине оставляет ОДИН кусок вдвое длиннее и двусторонний; разрез на трети ширины - ленту Мёбиуса потоньше и двустороннюю ленту, и интеграл Гаусса говорит, что они зацеплены один раз. Кривизна под муравьём тоже измерена: всюду отрицательная, −(k/2)² на середине - эта лента гнутая, бумажная плоская.
Уравнения модуля
Уравнения P(u, v) = ((R + v·cos(ku/2))·cos u, (R + v·cos(ku/2))·sin u, v·sin(ku/2)), u из [0, 2π), v из [−w, w], k - число полуоборотов (k = 1: лента Мёбиуса) шов: P(u + 2π, v) = P(u, (−1)^k·v); нормаль после одного обхода: N(2π) = (−1)^k·N(0) плоский муравей, несущий (вперёд, влево): вперёд → вперёд, влево → (−1)^k·влево - определитель (−1)^k, при нечётном k зеркально отражается край v = w: замыкается после 4π при нечётном k (ОДИН край), после 2π при чётном k (два края); χ = V − E + F = 0 при любом k разрез вдоль средней линии: нечётное k → одна двусторонняя лента (дважды обернувшаяся), чётное k → две ленты; разрез на расстоянии w/3 на ленте Мёбиуса → более тонкая лента Мёбиуса + двусторонняя лента, зацепленные один раз число зацепления Гаусса: |Lk(край, средняя линия)| = k при нечётном k; k/2 для каждого края при чётном k гауссова кривизна на средней линии: K = −(k/2)²/R² (−1/4 для ленты Мёбиуса; параметризованная лента не плоская, а бумажная - плоская)
