Math
Möbiusband
Eine Seite, eine Kante, und eine Ameise, die gespiegelt zurückkommt: sie bemalt das Band, während sie die Mittellinie entlangläuft, und nach einer Runde auf dem Möbiusband bemalt sie, was wie die andere Seite aussah.
Was passiert
Ein Band mit k Halbdrehungen hängt im Raum; k = 1 ist das Möbiusband. Es ist als zwei Häute gezeichnet, haarfein getrennt, eine auf jeder Seite der Fläche, damit sich die beiden Seiten verschieden bemalen lassen - und eine flache Ameise läuft mit einem Pinsel die Mittellinie entlang und bemalt die Haut, auf der sie steht. Auf dem Möbiusband ist die Ameise nach einer Runde auf der anderen Haut, ohne die Fläche je verlassen zu haben, und nach zwei Runden sind beide Häute bemalt: die "zwei" Seiten waren eine. Auf einem Band mit gerader Zahl von Halbdrehungen bleibt die zweite Haut für immer leer. Die Ameise trägt einen Pfeil nach vorn, einen nach links und einen nach oben; nach einer Runde auf einem ungeraden Band ist vorn dasselbe und links zeigt in die andere Richtung - sie wurde gespiegelt, und die Tafel druckt die Determinante ihres Rahmens, −1. Die Kante leuchtet als eigene Kurve: eine Kurve über zwei Runden bei ungeradem k, zwei Kurven bei geradem, mit einem Läufer darauf. Die Tafel zählt Seiten und Kanten an einem Netz des Bandes, nicht an k: sie versucht, jedes Stück konsistent zu orientieren (das scheitert genau dann, wenn die Fläche einseitig ist) und fügt die Randkanten zu Kurven zusammen. Ein Schnitt entlang der Mittellinie lässt EIN Stück, doppelt so lang und zweiseitig; ein Schnitt bei einem Drittel der Breite lässt ein schmaleres Möbiusband und ein zweiseitiges Band, und das Gauß-Integral sagt, sie sind einmal verkettet. Auch die Krümmung unter der Ameise wird gemessen: überall negativ, −(k/2)² auf der Mittellinie - dieses Band ist gebogen, ein Papierband ist flach.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen P(u, v) = ((R + v·cos(ku/2))·cos u, (R + v·cos(ku/2))·sin u, v·sin(ku/2)), u in [0, 2π), v in [−w, w], k halbe Drehungen (k = 1: Möbius) Naht: P(u + 2π, v) = P(u, (−1)^k·v); Normale nach einem Umlauf: N(2π) = (−1)^k·N(0) flache Ameise, die (vorwärts, links) mitführt: vorwärts → vorwärts, links → (−1)^k·links - Determinante (−1)^k, bei ungeradem k gespiegelt Rand v = w: schließt sich nach 4π für ungerades k (EIN Rand), nach 2π für gerades k (zwei Ränder); χ = V − E + F = 0 für jedes k Schnitt entlang der Mittellinie: ungerades k → ein zweiseitiges Band (doppelt herum), gerades k → zwei Bänder; Schnitt bei w/3 am Möbiusband → ein dünneres Möbiusband + ein zweiseitiges Band, einmal verschlungen Gaußsche Verschlingungszahl: |Lk(Rand, Mittellinie)| = k für ungerades k; k/2 für jeden Rand, wenn k gerade ist Gaußsche Krümmung auf der Mittellinie: K = −(k/2)²/R² (−1/4 für das Möbiusband; das parametrisierte Band ist nicht flach, Papier ist es)
