Math
Стрічка Мебіуса
Один бік, один край і мураха, що повертається відбитою: вона фарбує стрічку, йдучи серединою, і після одного кола стрічкою Мебіуса фарбує те, що здавалося іншим боком.
Що відбувається
Стрічка з k півобертами висить у просторі; k = 1 - стрічка Мебіуса. Її намальовано двома оболонками на волосину одна від одної, по одній з кожного боку поверхні, щоб два боки можна було фарбувати по-різному, - і плоска мураха йде серединою з пензлем, фарбуючи оболонку, на якій стоїть. На стрічці Мебіуса після одного кола мураха вже на іншій оболонці, не покидаючи поверхні, а після двох кіл пофарбовано обидві: «два» боки були одним. На стрічці з парним числом півобертів друга оболонка лишається голою назавжди. Мураха несе стрілку вперед, стрілку вліво і стрілку вгору; після кола по непарній стрічці «вперед» те саме, а «вліво» дивиться в інший бік - її відбили, і панель друкує визначник її репера, −1. Край світиться як власна крива: одна крива у два кола при непарному k, дві при парному, і по ньому біжить вогник. Панель рахує боки і краї по сітці стрічки, а не по k: намагається узгоджено орієнтувати кожну латку (це не вдається саме тоді, коли поверхня однобічна) і з'єднує крайові ребра в криві. Розріз по середині лишає ОДИН шматок удвічі довший і двобічний; розріз на третині ширини - тоншу стрічку Мебіуса і двобічну стрічку, і інтеграл Гаусса каже, що вони зачеплені один раз. Кривина під мурахою теж виміряна: скрізь від'ємна, −(k/2)² на середині - ця стрічка зігнута, паперова плоска.
Рівняння модуля
Рівняння P(u, v) = ((R + v·cos(ku/2))·cos u, (R + v·cos(ku/2))·sin u, v·sin(ku/2)), u у [0, 2π), v у [−w, w], k півскручувань (k = 1: Мебіус) шов: P(u + 2π, v) = P(u, (−1)^k·v); нормаль після одного обходу: N(2π) = (−1)^k·N(0) плоска мураха, що несе (вперед, ліворуч): вперед → вперед, ліворуч → (−1)^k·ліворуч - визначник (−1)^k, дзеркально відображена при непарному k край v = w: замикається після 4π при непарному k (ОДИН край), після 2π при парному k (два краї); χ = V − E + F = 0 при кожному k розріз уздовж серединної лінії: непарне k → одна двостороння смуга (двічі навколо), парне k → дві смуги; розріз на w/3 на стрічці Мебіуса → вужча стрічка Мебіуса + двостороння смуга, зачеплені один раз зачеплення за Гауссом: |Lk(край, серединна лінія)| = k при непарному k; k/2 для кожного краю, коли k парне гауссова кривина на серединній лінії: K = −(k/2)²/R² (−1/4 для стрічки Мебіуса; параметризована стрічка не плоска, а паперова - плоска)
